2. Два признака сходимости несобственных интегралов от неотрицательных функций.

Теорема 3.10. Для сходимости несобственного интеграла (3.64) от неотрицательной в области D функции необходимо и достаточно, чтобы хотя бы для одной последовательности кубируемых областей монотонно исчерпывающей D, была ограниченной числовая последовательность (3.63).

Доказательство. Необходимость. Сходимость несобственного интеграла (3.64) по определению 2 означает, что последовательность определяемая равенством (3.63), сходится для всех последовательностей областей монотонно исчерпывающих , следовательно, последовательность ограничена для каждой такой последовательности

Достаточность. Последовательность (3.63) ограничена и не убывает, так как следовательно, она сходится к некоторому числу I. Остается доказать, что если мы выберем любую другую последовательность кубируемых областей монотонно исчерпывающую область то последовательность

сходится к тому же числу Фиксируем любой номер и рассмотрим область Найдется номер такой, что Действительно, допустим, что это не так. Тогда для любого номера можно указать такую точку которая не принадлежит области Из последовательности можно (в силу замкнутости и ограниченности выделить сходящуюся к некоторой точке последовательности. Точка М вместе с некоторой окрестностью принадлежит одному из множеств . Но тогда этому же множеству всем множествам с большими номерами) принадлежат точки с как угодно большими номерами. А это противоречит выбору точек

Итак, существует номер такой, что Поэтому

Отсюда следует, что последовательность сходится к некоторому числу Меняя местами в наших рассуждениях последовательности придем к неравенству Следовательно, Теорема доказана.

В § 6 можно найти пример вычисления несобственного интеграла

где (см. пример 4° § 6, в котором следует заменить на

Теорема 3.11 (общий признак сравнения). Пусть функции всюду на открытом множестве D удовлетворяют условию Тогда из сходимости несобственного интеграла вытекает сходимость несобственного интеграла а из расходимости вытекает расходимость

Доказательство. Пусть — последовательность кубируемых областей, монотонно исчерпывающих область D. Из очевидных неравенств

следует, что ограниченность влечет ограниченность и неограниченность влечет неограниченность (для любой последовательности областей Отсюда и из теоремы 3.10 вытекает справедливость сформулированной теоремы.

Обычно при исследовании несобственных интегралов на сходимость используют стандартные (эталонные) функции сравнения, наиболее употребительной из которых является функция Легко проверить, что если область D — шар радиуса с центром в начале координат, то несобственный интеграл от функции по области D сходится при и расходится при . Если же D — внешность того же шара, то несобственный интеграл от функции области D сходится при и расходится при рст.