§ 2. ДОСТАТОЧНЫЕ ПРИЗНАКИ РАВНОМЕРНОЙ СХОДИМОСТИ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И РЯДОВ

В п. 1 § 1 мы убедились в том, что изучение функциональных рядов эквивалентно изучению функциональных последовательностей. С этой точки зрения каждый признак равномерной сходимости имеет две эквивалентные формулировки: в терминах функциональных рядов, а другую — в терминах функциональных последовательностей. В зависимости от удобства мы будем формулировать устанавливаемые признаки либо в терминах последовательностей, либо в терминах рядов (а иногда будем приводить обе эквивалентные формулировки).

Теорема 2.3 (признак Вейерштрасса). Если функциональный ряд

определен на множестве пространства и если существует сходящийся числовой ряд

такой, что для всех точек х множества и для всех номеров справедливо неравенство

то функциональный ряд (2.12) сходится равномерно на множестве

Доказательство. Фиксируем произвольное Так как числовой ряд (2.13) сходится, то в силу критерия Коши сходимости числового ряда (см. теорему 1.1 из гл. 1) найдется такое, что

для всех номеров удовлетворяющих условию и всех натуральных .

Из неравенств (2.14) и (2.15) и из того, что модуль суммы слагаемых не превосходит сумму их модулей, получаем

(для всех номеров удовлетворяющих условию всех натуральных и всех точек х множества

В силу критерия Коши равномерной сходимости (см. теорему 2.2) ряд (2.12) сходится равномерно на множестве Теорема доказана.

Замечание 1. Признак Вейерштрасса кратко может быть сформулирован так: функциональный ряд сходится равномерно на данном множестве, если его можно мажорировать на этом множестве сходящимся числовым рядом.

Замечание 2. Признак Вейерштрасса является достаточным, но не необходимым признаком равномерной сходимости функционального ряда. В самом деле, функциональный ряд

сходится равномерно на сегменте к сумме поскольку (см. п. 2 § 9 гл. 6 ч. 1) разность между частичной суммой этого ряда, равная остаточному члену в формуле Маклорена для функции для всех х из сегмента удовлетворяет неравенству

Однако для данного функционального ряда не существует на сегменте мажорирующего его сходящегося числового ряда, так как для каждого номера

а числовой ряд расходится.

Применим признак Вейерштрасса для установления равномерной сходимости функционального ряда

Можно утверждать, что этот ряд сходится равномерно во всем трехмерном евклидовом пространстве так как для любой точки этого пространства он может быть мажорирован сходящимся числовым рядом .

Теорема. 2.4 (признак Дини). Если последовательность не убывает (или не возрастает) в каждой точке х замкнутого ограниченного множества пространства и сходится на этом множестве к предельной функции и если все члены последовательности и предельная функция являются непрерывными на множестве то сходимость последовательности является равномерной на множестве

Доказательство. Не ограничивая общности, предположим, что последовательность не убывает на замкнутом ограниченном множестве (случай невозрастающей последовательности сводится к этому случаю умножением всех элементов последовательности на число —1). Положим Последовательность обладает следующими свойствами:

1) все неотрицательны и непрерывны на множестве не возрастает на множестве

3) в каждой точке х множества существует предел

Достаточно доказать, что последовательность сходится к тождественному нулю равномерно на множестве т. е. что для любого найдется хотя бы один номер такой, что для всех х из множества (Тогда в силу невозрастания последовательности неравенство будет справедливо и для всех последующих номероь.)

Допустим, что для некоторого не найдется ни одного номера такого, что сразу для всех х из множества Тогда для любого номера найдется хотя бы одна точка множества такая, что

В силу ограниченности множества и теоремы Больцано—Вейерштрасса (см. теорему из последовательности точек

можно выделить подпоследовательность точек сходящуюся к некоторой точке принадлежащей в силу замкнутости множества этому множеству. Так как каждая функция любым номером является непрерывной в точке то для любого номера

С другой стороны, выбрав для каждого номера превосходящий его номер получим (в силу невозрастания последовательности

Сопоставление последнего неравенства с неравенством (2.16), справедливым для любого номера дает оценку

(для любого номера превосходящего фиксированный нами произвольный номер

Из (2.17) и (2.18) вытекает, что

(для любого номера а это противоречит сходимости последовательности в точке к нулю. Полученное противоречие доказывает теорему.

Замечание 3. В теореме Дини весьма существенно требование монотонности последовательности на множестве так как немонотонная на множестве последовательность непрерывных на этом множестве функций может сходиться в каждой точке х множества к непрерывной на этом множестве функции но не сходиться равномерно на множестве

Примером может служить последовательность функций для которой равна при и равна нулю при Эта последовательность сходится к в каждой точке сегмента но не сходится на этом сегменте равномерно, так как при для рсех номеров

Приведем эквивалентную формулировку теоремы Дини в терминах функциональных рядов.

Теорема 2.4. Если все члены функционального ряда непрерывны и неотрицательны (или неположительны) на замкнутом ограниченном множестве и если в каждой точке множества этот ряд сходится и сумма его является непрерывной на множестве функцией, то его сходимость является равномерной на множестве

В качестве примера применения признака Дини изучим вопрос о характере сходимости последовательности

в круге радиуса 1/2 с центром в точке (0, 0). Сходимость является равномерной в этом круге, так как рассматриваемая последовательность сходится в каждой точке этого круга к предельной функции не возрастает в каждой точке круга и состоит из функций, непрерывных в нем.

Чтобы сформулировать еще два признака равномерной сходимости функциональных рядов, введем некоторые новые понятия.

Определение 1. Последовательность называется равномерно ограниченной наг множестве если существует такое вещественное число что для всех номеров и всех точек х множества справедливо неравенство

Определение 2. Функциональная последовательность называется последовательностью, обладающей на множестве равномерно ограниченным изменением, если функциональный ряд

сходится равномерно на множестве

Отметим сразу же, что всякая последовательность, обладающая на множестве равномерно ограниченным изменением, сходится равномерно на множестве к некоторой предельной функции. В самом деле, из равномерной на множестве сходимости ряда (2.19) и из критерия Коши вытекает равномерная на множестве сходимость ряда

частичная сумма которого имеет вид

Из последнего равенства вытекает равномерная сходимость последовательности к предельной функции равной , где — сумма ряда (2.19).

Теперь мы можем сформулировать и доказать следующие два признака.

Теорема 2.5 (первый признак Абеля). Если функциональный ряд (2.1)

обладает равномерно ограниченной на множестве последовательностью частичных сумм, а функциональная последовательность обладает равномерно ограниченным на множестве изменением и имеет предельную функцию, тождественно равную нулю, то функциональный ряд

сходится равномерно на множестве

Доказательство. По условию существует число такое, что последовательность частичных сумм ряда (2.1) для всех номеров и всех точек х из множества удовлетворяет неравенству

Фиксируем произвольное и по нему номер такой, что для всех превосходящих всех натуральных и всех точек х множества справедливы неравенства

(Здесь мы воспользовались равномерной на множестве сходимостью последовательности к нулю и равномерной на множестве сходимостью ряда

В силу тождества Абеля (1.77) и в силу того, что модуль суммы трех величин не превосходит сумму их модулей, имеем

Учитывая, что для всех номеров и всех х из справедливо неравенство получим

Сопоставление последнего неравенства с (2.21) и (2.22), позволяет записать неравенство

справедливое для всех номеров превосходящих всех натуральных и всех точек х множества а это и означает, что ряд (2.20) сходится равномерно на множестве (в силу теоремы 2.2). Теорема доказана.

Теорема 2.6 (второй признак Абеля). Если функциональный ряд (2.1) сходится равномерно на множестве к сумме ограниченной на этом множестве, а функциональная последовательность обладает равномерно ограниченным на множестве изменением и имеет ограниченную на этом множестве предельную функцию то функциональный ряд (2.20) сходится равномерно на множестве

Доказательство. Будем исходить из тождества Абеля (1.77). Это тождество можно переписать в виде

(Здесь символом обозначена частичная сумма ряда (2.1).)

Из последнего тождества вытекает неравенство

Так как по условию сумма ряда (2.1) и предельная функция последовательности ограничены на множестве то найдутся постоянные такие, что для всех х из множества

Из неравенств (2.24) и из равномерной на множестве сходимости последовательностей к предельным функциям соответственно вытекает существование номера что для всех точек х множества и всех номеров удовлетворяющих условию будут справедливы неравенства

Далее, из равномерной на множестве сходимости функциональных рядов (2.1) и (2.19) и из критерия Коши равномерной сходимости вытекает, что для произвольного найдутся номера такие, что неравенство

будет справедливо для точек х множества всех натуральных и всех номеров удовлетворяющих условию а неравенство

— для всех точек х множества всех натуральных и всех номеров удовлетворяющих условию

Наконец, из тождества

из вытекающего из него неравенства

и из неравенства (2.27) получаем

для всех точек х множества всех натуральных и всех номеров удовлетворяющих условию

Обозначим через наибольший из трех номеров Тогда при для всех точек х множества и всех натуральных будет справедливо каждое из четырех неравенств

Из этих неравенств и из (2.23) вытекает, что

при всех всех натуральных и для всех точек х множества

В силу критерия Коши ряд (2.20) сходится равномерно на множестве Теорема доказана.

Следствие из теоремы 2.5 (признак Дирихле — Абеля). Если функциональный ряд (2.1) обладает равномерно ограниченной на множестве последовательностью частичных сумм, а функциональная последовательность не возрастает в каждой точке множества и равномерно на этом множестве сходится к нулю, то функциональный ряд (2.20) сходится равномерно на множестве

Достаточно заметить, что невозрастающая в каждой точке множества и сходящаяся равномерно на этом множестве к нулю последовательность заведомо обладает на множестве равномерно ограниченным изменением, так как для нее частичная сумма ряда (2.19) равна Поэтому существует равномерный на множестве предел

В качестве примера изучим вопрос о равномерной сходимости ряда

Так как последовательность

не возрастает в каждой точке бесконечной прямой и равномерно на этой прямой сходится к нулю, то в силу признака Дирихле—Абеля ряд (2.29) сходится равномерно на любом множестве, на котором ряд

обладает равномерно ограниченной последовательностью частичных сумм.

Для вычисления частичной суммы ряда (2.30) просуммируем тождество

по всем номерам от 1 до При этом получим соотношение

из которого вытекает равенство

Следовательно, для всех номеров справедливо неравенство

которое означает, что последовательность частичных сумм ряда (2.30) равномерно ограничена на любом фиксированном сегменте, не содержащем точек где (так как на любом таком сегменте имеет положительную точную нижнюю грань).

Итак, ряд (2.29) сходится равномерно на любом фиксированном сегменте, не содержащем точек

В силу второго признака Абеля можно утверждать, что ряд

также сходится равномерно на любом сегменте, не содержащем точек поскольку ряд (2.29) равномерно сходится на таком сегменте, причем к ограниченной сумме, а последовательность обладает равномерно ограниченным на любом сегменте изменением (так как ряд

на всей прямой мажорируется сходящимся числовым рядом и на всей прямой сходится равномерно к ограниченной функции