§ 4. УСЛОВИЯ НЕЗАВИСИМОСТИ КРИВОЛИНЕЙНОГО ИНТЕГРАЛА НА ПЛОСКОСТИ ОТ ПУТИ ИНТЕГРИРОВАНИЯ

Пусть — векторное поле, заданное в связной плоской области D.

Определение 1. Функция называется потенциалом поля в области D, если в этой области

Поле а, обладающее потенциалом, называется потенциальным полем.

Теорема 6.4. Пусть функции непрерывны в D. Для любых двух точек значение интеграла

не зависит от кусочно гладкой кривой соединяющей точки А и В, тогда и только тогда, когда поле потенциально. В этом случае

где — потенциал поля

Доказательство. Достаточность. Пусть

Произвольные точки А и В из области D соединим некоторой кусочно гладкой кривой и пусть ее параметрическое представление. В силу непрерывности

и заключаем, что функция дифференцируема в D.

Тогда по формуле Ньютона—Лейбница получаем

Необходимость. Фиксируем в D некоторую точку и пусть произвольная точка области D. Положим

где интеграл берется по любой кусочно гладкой кривой, соединяющей точки (см. рис. 6.4).

Рис. 6.4

Покажем, что так определенная функция является искомым потенциалом поля . Докажем, например, существование и равенство От точки сместимся в точку так, чтобы отрезок содержался в D. Это можно сделать для всех достаточно малых приращений так как D — открытое множество, состоящее из внутренних точек. При таком смещении функция получит приращение

На отрезке координата у имеет постоянное значение, и, следовательно,

Поэтому

В силу непрерывности функции из теоремы о среднем получим

где откуда

Переходя к пределу при в силу непрерывности функции получаем, что предел существует и

Совершенно аналогично доказывается равенство

Теорема 6.4 доказана.

Если поле потенциально и функции вместе со своими частными производными непрерывны в области D, то должно выполняться равенство

которое означает равенство смешанных производных:

В силу теоремы 6.4 необходимым условием независимости криволинейного интеграла

от пути интегрирования при условии непрерывности функций и их частных производных в области D является легко проверяемое равенство

Если область D односвязна, то это условие будет и достаточным для независимости интеграла от выбора кривой, соединяющей данные точки А и В. Чтобы при изложении не использовать не доказанную в общем случае формулу Грина (см. замечание 2 к теореме 6.1), рассмотрим сначала случай, когда область D является крутом.

Теорема 6.5. Пусть функции и их частные производные непрерывны в некотором круге К. В этом случае поле а потенциально в этом круге тогда и только тогда, когда в К

Доказательство. Очевидно, требуется доказать только достаточность условия. Через центр круга, точку проведем прямые параллельные координатным осям соответственно. Из произвольной точки опустим перпендикуляры на соответственно. Точку соединим с точками отрезками

Применяя формулу Грина (6.25) к прямоугольнику получаем

откуда следует, что

т. e. интеграл не зависит от двузвенной ломаной соединяющей фиксированную точку с некоторой точкой М., Поэтому определим функцию

где — двузвенная ломаная, звенья которой параллельны ко ординатным осям. Проверка, что так определенная функция является потенциалом данного поля а проводится аналогично той, которая проведена при доказательстве теоремы 6.4. Теорема 6.5 доказана.

Замечание. Теорема 6.5 справедлива в случае произвольной односвязной области D. Чтобы убедиться в этом, докажем, что для независимости криволинейного интеграла

от выбора кривой соединяющей точки А и В, достаточна выполнение в области D условия

Пусть L — произвольная замкнутая кусочно гладкая кривая, расположенная в D. Обозначим через D область, которую

ограничивает кривая В силу односвязности области D каждая точка области D принадлежит D. Применяя к области формулу Грина (6.25) (см. замечание 2 к теореме 6.1), получим

Отсюда следует, что для любых фиксированных точек А и В области D и любых двух кусочно гладких кривых соединяющих эти точки, выполняются равенства:

Поэтому

Следовательно, значение интеграла

не зависит от кусочно гладкой кривой соединяющей точки