Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
§ 2. СКАЛЯРНЫЕ И ВЕКТОРНЫЕ ПОЛЯ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА1. Скалярные и векторные поля.В теории поля рассматриваются функции, которые каждой точке М фиксированной области D сопоставляют некоторый специальный объект Будем говорить, что в области D задано скалярное поле, если каждой точке М этой области сопоставлено по некоторому закону определенное число Аналогично говорят, что в области D задано векторное Пусть, например,
Другими примерами скалярного и векторного полей могут быть скалярное поле температур внутри нагретого тела, векторное поле скоростей установившегося потока жидкости и т. д. Приведем еще ряд примеров скалярных и векторных полей, играющих важную роль в анализе и физике. Для этого понадобится изучить понятие дифференцируемости скалярного и векторного полей. Поскольку скалярное поле — это числовая функция, заданная в области D, то понятие дифференцируемости скалярного поля (этой числовой функции) мы уже знаем (см. определение п. 2 § 4 гл. 12 ч. 1). Напомним это определение, заменяя слово «функция» на слова «скалярное поле». Пусть задано скалярное поле Определение 1. Скалярное поле
где Условие дифференцируемости скалярного поля
где Эту формулу можно переписать в более компактном виде:
где
Таким образом, можно дать следующее Определение 1. Скалярное поле Напомним (см. п. 8 § 4 гл. 12 ч. 1), что условие дифференцируемости (6.16) может быть переписано в виде
где вектор Формула (6.17) приводит нас еще к одному примеру векторного поля, а именно Согласно рассмотрениям п. 8 § 4 гл. 12 ч. 1 в случае дифференцируемости поля
Производная по направлению задает, очевидно, некоторое новое скалярное поле в области D. Перейдем к изучению дифференцируемого векторного поля. Понятие дифференцируемости векторного поля дается в полной аналогии с понятием дифференцируемости скалярного поля, и это понятие было нами дано в дополнении 2 к гл. 12 ч. 1. Пусть в области D пространства Определение 2. Векторное поле
где А — некоторый линейный оператор в
Утверждение. Если векторное поле дифференцируемо, то представление (6.19) единственно. Действительно (см. также дополнение 2 к гл. 12 ч. 1), если бы было два представления вида (6.19), т. е.
то
где Разделив на
где
Но если два линейных оператора А и В совпадают на единичной сфере, то они равны, очевидно, на любом векторе, т. е. совпадают всюду; Следовательно, Так же, как и в случае скалярного поля, векторное поле дифференцируемо в области D, если оно дифференцируемо в каждой точке области D. Как и в случае скалярного поля, возникает вопрос об определении производной по направлению для векторного поля Пусть М — точка области Определение 3. Производной векторного поля а (М) в точке М по направлению
(в случае, если этот предел существует). Здесь Утверждение. Пусть векторное поле
Интересно сравнить эту формулу с формулой (6.18). В формуле (6.18) справа также стоит результат действия оператора Доказательство. Пусть
Поскольку
Переходя в этом соотношении к пределу при Вернемся снова к рассмотрению формулы (6.19):
Здесь А — линейный оператор, действующий на вектор тор определяется своей матрицей. Найдем матрицу линейного оператора А в ортонормированном базисе
По формулам (6.13) вычисляем элементы матрицы А оператора А:
|
1 |
Оглавление
|