§ 2. СКАЛЯРНЫЕ И ВЕКТОРНЫЕ ПОЛЯ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА

1. Скалярные и векторные поля.

В теории поля рассматриваются функции, которые каждой точке М фиксированной области

D сопоставляют некоторый специальный объект называемый тензором. В этом случае говорят, что в области D задано тензорное поле. Мы будем изучать только два простейших частных случая тензорного поля, а именно скалярное и векторное поля

Будем говорить, что в области D задано скалярное поле, если каждой точке М этой области сопоставлено по некоторому закону определенное число Таким образом, понятия скалярного поля и скалярной функции, определенной в области D, совпадают.

Аналогично говорят, что в области D задано векторное если каждой точке М этой области сопоставлен по некоторому закону вектор Таким образом, понятия векторного поля и векторной функции, определенной в области D, совпадают.

Пусть, например, — напряженность электрического поля, созданного единичным отрицательным зарядом, помещенным в начало координат трехмерного пространства . Тогда в точке вектор имеет, как известно, длину где и направлен от точки М к началу координат. Получаем следующую формулу для задания данного векторного поля

Другими примерами скалярного и векторного полей могут быть скалярное поле температур внутри нагретого тела, векторное поле скоростей установившегося потока жидкости и т. д.

Приведем еще ряд примеров скалярных и векторных полей, играющих важную роль в анализе и физике. Для этого понадобится изучить понятие дифференцируемости скалярного и векторного полей.

Поскольку скалярное поле — это числовая функция, заданная в области D, то понятие дифференцируемости скалярного поля (этой числовой функции) мы уже знаем (см. определение п. 2 § 4 гл. 12 ч. 1).

Напомним это определение, заменяя слово «функция» на слова «скалярное поле». Пусть задано скалярное поле в области D из .

Определение 1. Скалярное поле называется дифференцируемым в точке области D, если его полное приращение в этой точке может быть представлено в виде

где — некоторые не зависящие от числа, а — бесконечно малые при функции, равные нулю при

Условие дифференцируемости скалярного поля (как показано в п. 2 § 4 гл. 12 ч. 1) может быть записано в виде

где причем это представление единственно.

Эту формулу можно переписать в более компактном виде:

где — скалярное произведение векторов

Таким образом, можно дать следующее

Определение 1. Скалярное поле дифференцируемо в точке М, если в этой точке для полного приращения справедливо соотношение (6.16). Скалярное поле дифференцируемо в области D, если оно дифференцируемо в каждой точке этой области.

Напомним (см. п. 8 § 4 гл. 12 ч. 1), что условие дифференцируемости (6.16) может быть переписано в виде

где вектор

Формула (6.17) приводит нас еще к одному примеру векторного поля, а именно полю градиента дифференцируемого в области D скалярного поля Определение градиента не зависит от выбора системы координат, и поэтому он является инвариантом 6).

Согласно рассмотрениям п. 8 § 4 гл. 12 ч. 1 в случае дифференцируемости поля можно ввести производную по направлению вектора

Производная по направлению задает, очевидно, некоторое новое скалярное поле в области D.

Перейдем к изучению дифференцируемого векторного поля. Понятие дифференцируемости векторного поля дается в полной аналогии с понятием дифференцируемости скалярного поля, и это понятие было нами дано в дополнении 2 к гл. 12 ч. 1.

Пусть в области D пространства задано векторное поле (векторная функция точек М, принадлежащих Напомним, что каждой точке ставит в соответствие вектор

Определение 2. Векторное поле называется дифференцируемым в точке М области D, если его полное приращение представляется в виде

где А — некоторый линейный оператор в

вектор, длина которого стремится к нулю при

Утверждение. Если векторное поле дифференцируемо, то представление (6.19) единственно.

Действительно (см. также дополнение 2 к гл. 12 ч. 1), если бы было два представления вида (6.19), т. е.

то

где

Разделив на обе части полученного равенства, получим

где - вектор единичной длины. Справа стоит бесконечно малый вектор (его длина стремится к нулю при следовательно, для любого единичного вектора величина слева равна нулю:

Но если два линейных оператора А и В совпадают на единичной сфере, то они равны, очевидно, на любом векторе, т. е. совпадают всюду; Следовательно,

Так же, как и в случае скалярного поля, векторное поле дифференцируемо в области D, если оно дифференцируемо в каждой точке области D.

Как и в случае скалярного поля, возникает вопрос об определении производной по направлению для векторного поля

Пусть М — точка области — единичный вектор с координатами , определяющий некоторое направление. Пусть М — любая точка из D, отличная от М и такая, что вектор коллинеарен вектору . Обозначим расстояние между М и М через .

Определение 3. Производной векторного поля а (М) в точке М по направлению называется предел отношения

(в случае, если этот предел существует). Здесь .

Утверждение. Пусть векторное поле дифференцируемо, А — линейный оператор, определяемый из соотношения дифференцируемости (т. е. из соотношения Тогда производная — поля в этой точке М по любому направлению существует и определяется равенством

Интересно сравнить эту формулу с формулой (6.18). В формуле (6.18) справа также стоит результат действия оператора на вектор е. Результат этого действия и есть скалярное произведение градиента поля и вектора е.

Доказательство. Пусть — фиксированный вектор. Выберем точку М так, чтобы . Тогда согласно (6.19) получим

Поскольку то

Переходя в этом соотношении к пределу при получаем формулу (6.20), т. е. то, что и требовалось доказать.

Вернемся снова к рассмотрению формулы (6.19):

Здесь А — линейный оператор, действующий на вектор из Как мы знаем, в фиксированном базисе всякий линейный оператор

тор определяется своей матрицей. Найдем матрицу линейного оператора А в ортонормированном базисе , с которым связана декартова прямоугольная система координат Пусть в этом базисе вектор имеет координаты Согласно формулам (6.20)

По формулам (6.13) вычисляем элементы матрицы А оператора А: