2. Основная теорема. Формула обращения.

Определение 1. Для каждой функции из класса назовем предел

(при условии, что этот предел существует) разложением функции в интеграл Фурье.

Возникает вопрос о существовании разложения функции в ннтеграл Фурье (9.3). Ответ дается следующей теоремой.

Теорема 9.1. Если функция и если удовлетворяет в данной точке х справа условию Гёльдера порядка где а слева условию Гёльдера порядка где то в данной точке х выполнено равенство

Таким образом, в каждой точке х, в которой значение равно полусумме частности, в каждой точке непрерывности справедливо равенство

в котором несобственный интеграл понимается в смысле главного значения, т. е. при симметричном стремлении пределов интегрирования к бесконечности.

Доказательство. Поскольку — непрерывная функция, то при любом существует интеграл

В силу того что интеграл, заключенный в квадратные скобки, равномерно по X сходится на любом сегменте , можно поменять порядок интегрирования относительно и X. Воспользовавшись равенствами

а также заменой получим

Следовательно, при любом

Поскольку

то

Вычитая последние два равенства из (9.5), получим

Так как функция удовлетворяет справа условию Гёльдера порядка то существует постоянная такая, что для достаточно малых положительных и будет выполнено неравенство

Аналогично из условия Гёльдера слева порядка получаем неравенство

для всех достаточно малых по модулю отрицательных . Пусть Тогда неравенства можно записать в виде одного:

при где достаточно мало.

Перепишем соотношение (9.6) в следующем виде:

Пусть фиксировано произвольное выбрано из условия и так, чтобы при было справедливо (9.7).

Оценим первые два интеграла в правой части (9.8). Пользуясь (9.7), получим

Аналогично

Поэтому в силу выбора

Для оценки третьего интеграла в правой части (9.8) рассмотрим функцию

Функция принадлежит классу а поэтому в силуг леммы Римана

Но это и означает, что для фиксированного нами произвольного существует число такое, что при

Далее,

при Отсюда следует, что для фиксированного нами произвольного и рассматриваемой точки х найдется такое, что

при Пусть Тогда, подставляя в (9.8), получаем, что при

Теорема доказана.

Замечание. Требования, налагаемые на функцию в теореме 9.1, можно несколько ослабить.

Определение 2. Будем говорить, что функция заданная в некоторой проколотой окрестности точки х, удовлетворяет точке х условиям Дини, если:

а) в точке х существуют оба односторонних предела

б) для какого-нибудь положительного значения оба интеграла

сходятся абсолютно.

Ясно, что если функция удовлетворяет в точке х справа и слева условию Гёльдера

то, поскольку

для функции выполнено и условие Дини.

Обратное, конечно, неверно. Можно доказать, что условие Дини тем не менее обеспечивает разложение функции в интеграл Фурье в данной точке.

Сделаем некоторые выводы из полученных результатов. При условии функции существует преобразование Фурье

обозначим его так: где — оператор Фурье, применяемый к функции

При выполнении условий теоремы 9.1 и условия как мы доказали, функция разлагается в интеграл Фурье, т. е. справедлива формула

Эту формулу называют обратным преобразованием Фурье. Обозначим ее так: где — обратный оператор Фурье, применяемый к функции т. е. к образу Фурье функции

Отметим, что хотя формулы преобразования Фурье и обратного преобразования Фурье внешне похожи (см. формулы (9.2) и (9.4)), по существу они различны: в первой из них интеграл существует в обычном смысле (поскольку а во второй, вообще говоря, лишь в смысле главного значения. Кроме того, равенство (9.2) — это определение функции а в равенстве (9.4) содержится утверждение о том, что интеграл равен исходной функции