Главная > Математический анализ. Продолжение курса
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

§ 6. БЕСКОНЕЧНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ

1. Основные понятия.

К понятию числового ряда близко примыкает понятие бесконечного числового произведения. Пусть дана бесконечная числовая последовательность Записанное формально выражение вида

принято называть бесконечным произведением. Отдельные элементы и принято называть членами данного бесконечного произведения. Произведение первых членов данного бесконечного произведения принято называть частичным произведением и обозначать символом

Бесконечное произведение (1.90) называют сходящимся, если последовательность частичных произведений имеет конечный предел Р, отличный от нуля. В случае сходимости бесконечного произведения (1.90) указанный предел Р называют значением этого бесконечного произведения и пишут:

Отметим, что последнее равенство имеет смысл лишь для сходящегося бесконечного произведения. Ясно, что рассмотрение бесконечных произведений по существу представляет собой новую форму изучения числовых последовательностей, ибо каждому данному бесконечному произведению однозначно соответствует последовательность его частичных произведений и каждой числовой последовательности все элементы которой отличны от нуля, однозначно соответствует бесконечное произведение, для которого эта последовательность является последовательностью частичных произведений (достаточно положить члены бесконечного произведения равными при

Теорема 1.17. Необходимым условием сходимости бесконечного произведения (1.90) является стремление к единице его члена при

Доказательство. Пусть бесконечное произведение (1.90) сходится и имеет значение Р, отличное от нуля. Тогда Поскольку то существует и равен единице.

Заметим, что на сходимость бесконечного произведения не влияет удаление любого конечного числа членов этого произведения (если среди этих членов нет равных нулю). Поскольку бесконечное произведение, у которого хотя бы один член равен нулю согласно принятому выше определению считается расходящимся, то

мы в дальнейшем вообще исключим из рассмотрения бесконечные произведения, у которых хотя бы один член равен нулю. Примеры.

— любое фиксированное число).

Докажем, что бесконечное произведение (1.91) при любом сходится и имеет значение. Подсчитаем частичное произведение

Умножая обе части (1.92) на и последовательно используя формулу для синуса двойного угла получим

Из последней формулы имеем

Поскольку выражение в фигурных скобках стремится к единице при (в силу первого замечательного предела), то существует и равен . Тем самым доказано, что бесконечное произведение (1.91) сходится и имеет значение - при любом

Докажем, что бесконечное произведение (1.93) сходится и имеет значение 1/3. Подсчитаем частичное произведение

Таким образом существует и равен 1/3.

1
Оглавление
email@scask.ru