Глава 6. ТЕОРИЯ ПОЛЯ. ОСНОВНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ФОРМУЛЫ АНАЛИЗА

В этой главе будут рассмотрены скалярные и векторные поля, а также основные понятия и операции, связанные с ними. Важнейшей формулой анализа является уже известная нам формула Ньютона—Лейбница. Здесь будут получены формулы Грина, Остроградского—Гаусса и Стокса, которые, с одной стороны, являются обобщением формулы Ньютона—Лейбница на многомерный случай, а с другой стороны, составляют важную часть аппарата интегрального исчисления.

§ 1. ОБОЗНАЧЕНИЯ. БИОРТОГОНАЛЬНЫЕ БАЗИСЫ. ИНВАРИАНТЫ ЛИНЕЙНОГО ОПЕРАТОРА

1. Обозначения.

Ниже нам часто придется записывать суммы некоторого числа слагаемых. Поясним обозначения, которыми будем пользоваться. Мы будем иметь дело с системами величин, которые помечены несколькими индексами, например Обычно в таких случаях один индекс пишут внизу, другой — вверху. Если индексы меняются независимо, то они обозначаются разными буквами. Если индексов много, то они обозначаются одной буквой с подындексом.

Например, или . В некоторых случаях для обозначения суммирования будет использована запись где суммирование производится по некоторому множеству величин . Если индексы суммирования меняются так, что при этом то будем писать

Наконец, заключим следующее соглашение о суммировании. Пусть имеется выражение, составленное из сомножителей. Если в этом выражении имеется два буквенных индекса, из которых один верхний, а другой нижний, то будем полагать, что по этим индексам происходит суммирование. При этом индексы последовательно принимают значение а полученные слагаемые складываются.

Например, если

При этих обозначениях разложение вектора а по базису пространства может быть записано так:

где — коэффициенты разложения этого вектора. Эта запись означает, что

Символом будем обозначать величину, принимающую всего два значения:

— так называемый символ Кронекера 1).

Скалярное произведение двух векторов а и в пространстве обозначается