6. Свойства внешнего произведения знакопеременных форм.
1°. Линейность:
а) если
то для любого вещественного числа
Доказательство очевидно.
2°. Антикоммутативность: если
то
Доказательство. Пусть
Легко видеть, что
Убедимся в том, что перестановку
можно получить из векторов
с помощью
последовательных транспозиций. Вектор
можно передвинуть на первое место, используя
транспозиций. Затем с помощью такого же числа транспозиций передвинем на второе место вектор
Всего мы передвинем
векторов, используя каждый раз
транспозиций, т. е. число всех транспозиций равно
. В таком случае антикоммутативность будет следовать из знакопеременности внешнего произведения.
3°. Ассоциативность: если
Доказательство. Пусть
Рассмотрим величину
Сумма (6.1.9) будет равна
если вначале произвести суммирование по всем перестановкам, оставляющим без изменения числа
и удовлетворяющим условию (6.1.4), а затем просуммировать по всем перестановкам, сохраняющим получившийся порядок первых
аргументов и порядок аргументов
Аналогично можно получить величину
-Покажем, что в обоих случаях получается сумма по всем перестановкам, удовлетворяющим условиям
Для этого снова обратимся к нашей модели с колоннами автомобилей. Предположим, что по дороге движутся три
колонны автомобилей, в первой из которых
, во второй
, а в третьей
машин. Один из способов перестроения этих трех колонн в одну заключается в том, что вначале сливаются первая и вторая колонны, а затем полученная соединяется с третьей. При другом способе вначале сливаются вторая и третья колонны, а к ним присоединяется первая. Очевидно, перестановка
получаемая в результате любого из этих перестроений, удовлетворяет условию (6.1.10), и, наоборот, любая перестановка, удовлетворяющая условию (6.1.10), может быть получена как с помощью первого, так и с помощью второго способа перестроения. Это и означает совпадение
.
Ассоциативность внешнего умножения дает возможность рассматривать любое конечное произведение
Пример. Пусть
- линейные формы. Тогда
где суммирование производится по всем перестановкам
Это равенство легко проверяется с помощью индукции. Заметим, что если ввести матрицу
то равенство (6.1.11) можно переписать в виде