6. Свойства внешнего произведения знакопеременных форм.
1°. Линейность:
а) если 
то для любого вещественного числа 
Доказательство очевидно.
2°. Антикоммутативность: если 
то 
Доказательство. Пусть
Легко видеть, что
Убедимся в том, что перестановку 
можно получить из векторов 
с помощью 
последовательных транспозиций. Вектор 
можно передвинуть на первое место, используя 
транспозиций. Затем с помощью такого же числа транспозиций передвинем на второе место вектор 
Всего мы передвинем 
векторов, используя каждый раз 
транспозиций, т. е. число всех транспозиций равно 
. В таком случае антикоммутативность будет следовать из знакопеременности внешнего произведения.
3°. Ассоциативность: если 
Доказательство. Пусть 
Рассмотрим величину
Сумма (6.1.9) будет равна 
если вначале произвести суммирование по всем перестановкам, оставляющим без изменения числа 
и удовлетворяющим условию (6.1.4), а затем просуммировать по всем перестановкам, сохраняющим получившийся порядок первых 
аргументов и порядок аргументов 
Аналогично можно получить величину 
-Покажем, что в обоих случаях получается сумма по всем перестановкам, удовлетворяющим условиям
Для этого снова обратимся к нашей модели с колоннами автомобилей. Предположим, что по дороге движутся три
колонны автомобилей, в первой из которых 
, во второй 
, а в третьей 
машин. Один из способов перестроения этих трех колонн в одну заключается в том, что вначале сливаются первая и вторая колонны, а затем полученная соединяется с третьей. При другом способе вначале сливаются вторая и третья колонны, а к ним присоединяется первая. Очевидно, перестановка 
получаемая в результате любого из этих перестроений, удовлетворяет условию (6.1.10), и, наоборот, любая перестановка, удовлетворяющая условию (6.1.10), может быть получена как с помощью первого, так и с помощью второго способа перестроения. Это и означает совпадение 
.
Ассоциативность внешнего умножения дает возможность рассматривать любое конечное произведение
Пример. Пусть 
- линейные формы. Тогда
где суммирование производится по всем перестановкам 
Это равенство легко проверяется с помощью индукции. Заметим, что если ввести матрицу 
то равенство (6.1.11) можно переписать в виде
