2. Почленное дифференцирование.

В дальнейшем под словами «функция имеет производную на сегменте мы будем подразумевать, что функция имеет обычную (двустороннюю) производную в любой внутренней точке сегмента правую производную в точке а и левую производную в точке

Теорема 2.9. Если каждая функция имеет производную на сегменте причем последовательность производных сходится равномерно на сегменте а сама последовательность сходится хотя бы в одной точке сегмента то последовательность сходится к некоторой предельной функции равномерно на сегменте причем эту последовательность можно дифференцировать на сегменте почленно, т. е. всюду на сегменте предельная функция

имеет производную являющуюся предельной функцией последовательности

Доказательство. Докажем сначала, что последовательность сходится равномерно на сегменте Из сходимости числовой последовательности и из равномерной на сегменте сходимости следует, что для любого найдется номер такой, что

для всех всех натуральных и для всех х из сегмента

Пусть х — произвольная точка сегмента Так как для функции при любых фиксированных номерах пир выполнены на сегменте, ограниченном точками все условия теоремы Лагранжа, то между найдется точка такая, что

Из этого равенства и из того, что модуль суммы двух величин не превосходит сумму их модулей, получим, учитывая (2.45) и неравенство , что

(для любого х из для любого и любого натурального ).

Это и означает в силу критерия Коши, что последовательность сходится равномерно на сегменте к некоторой предельной функции

Остается доказать, что эта предельная функция в любой фиксированной точке х сегмента имеет производную (в граничных точках одностороннюю производную) и эта производная является предельной функцией последовательности

Фиксируем произвольную точку х сегмента и по ней такое, чтобы -окрестность точки х целиком содержалась в (в случае, если х является граничной точкой сегмента под -окрестностью точки х будем подразумевать правую полуокрестность точки а и левую полуокрестность точки

Обозначим символом множество всех чисел удовлетворяющих условию при условию при и условию при и докажем, что последовательность функций аргумента

сходится равномерно на указанном множестве

Для произвольного в силу критерия Коши равномерной сходимости последовательности найдется номер такой, что

для всех х из всех и всех натуральных .

Фиксируем теперь произвольное из множества и при любых фиксированных номерах пир применим к функции

по сегменту, ограниченному точками теорему Лагранжа. Согласно этой теореме найдется число 0 из интервала такое, что

Используя обозначение (2.46), последнее равенство можно переписать в виде

Из этого равенства и из (2.47) заключаем, что

для любого из любого и любого натурального . В силу критерия Коши (т. е. теоремы 2.1) последовательность сходится равномерно на множестве Но тогда к этой последовательности можно применить теорему 2.7 о почленном предельном переходе в точке (в терминах функциональных последовательностей). Согласно этой теореме функция

являющаяся предельной функцией последовательности (2.46), имеет предел в точке причем этот предел можно вычислять почленно, т. е.

Это и доказывает, что производная предельной функции в точке х существует и равна Теорема доказана.

В терминах функциональных рядов теорема 2.9 формулируется так:

Теорема 2.9. Если каждая функция имеет производную на сегменте и если ряд из производных сходится равномерно на сегменте а сам ряд сходится хотя бы в одной точке сегмента то этот последний ряд сходится равномерно на сегменте к некоторой сумме причем этот ряд можно дифференцировать на сегменте почленно, т. е. его сумма имеет производную, являющуюся суммой ряда из производных

Замечание 1. Подчеркнем, что в теореме 2.9 предполагается только существование на сегменте производной у каждого члена последовательности Ни ограниченность, ни тем более непрерывность указанной производной (как это делается в большинстве учебников по математическому анализу) не предполагается.

Замечание 2. Если все же дополнительно предположить непрерывность производной у каждого члена последовательности на сегменте то в силу следствия 2 из теоремы 2.7 и предельная функция будет иметь производную, непрерывную на сегменте

Замечание 3. Для функции переменных теорема 2.9 может быть сформулирована в следующем виде:

Теорема 2.9. Если каждая из функций имеет в замкнутой ограниченной области пространства частную производную по переменной и если последовательность производных сходится равномерно в области G, а сама последовательность сходится в каждой точке области то последовательность можно дифференцировать по переменной в области почленно.

Из теоремы 2.9 легко вытекает следующее утверждение. Теорема 2.10. Если каждая функция имеет первообразную на сегменте и если последовательность сходится равномерно на сегменте к предельной функции то и предельная функция имеет первообразную на сегменте Более того, если — любая точка сегмента то

последовательность первообразных функций удовлетворяющих условию сходится равномерно на сегменте к первообразной предельной функции удовлетворяющей условию

Доказательство. Для последовательности первообразных функций удовлетворяющих требованию выполнены все условия теоремы 2.9. Это обеспечивает равномерную на сходимость последовательности к предельной функции которой в каждой точке существует производная, равная предельной функции последовательности Теорема доказана.

Замечание к теореме 2.10. В теореме 2.10 не требуется ни ограниченность, ни тем более интегрируемость функций на сегменте

Теоремы, доказанные в данном и в предыдущем параграфах позволяют нам сделать следующий замечательный вывод:

Утверждение. Равномерная сходимость не выводит из класса функций, имеющих предел в данной точке (теорема 2.7), из класса непрерывных функций (следствие 2 из теоремы 2.7), из класса интегрируемых функций (теорема 2.8), из класса функций, имеющих первообразную (теорема 2.10) и (в случае равномерной сходимости производных) из класса дифференцируемых функций (теорема 2.9).