2. Простейшие условия абсолютной и равномерной сходимости тригонометрического ряда Фурье.

Определение 1. Будем говорить, что функция имеет на сегменте кусочно непрерывную производную, если производная существует и непрерывна всюду на сегменте за исключением, быть может, конечного числа точек, в каждой из которых функция имеет конечные правое и левое предельные значения

Определение 2. Будем говорить, что функция имеет на сегменте кусочно непрерывную производную порядка если функция имеет на этом сегменте кусочно непрерывную производную в смысле определения 1.

Теорема 8.9. Если функция непрерывна на сегменте , имеет на этом сегменте кусочно непрерывную производную и удовлетворяет условию то тригонометрический ряд Фурье функции сходится к этой функции равномерно на сегменте . Более того, ряд, составленный из модулей членов тригонометрического ряда Фурье функции сходится равномерно на сегменте .

Доказательство. Достаточно доказать, что ряд, составленный из модулей членов тригонометрического ряда Фурье функции

сходится равномерно на сегменте , так как отсюда будет вытекать как равномерная на сегменте сходимость самого тригонометрического ряда Фурье функции так и сходимость этого ряда (в силу следствия 5 из п. 3 § 3) именно к функции

В силу признака Вейерштрасса (см. теорему 2.3) для доказательства равномерной на сегменте сходимости ряда (8.41) достаточно доказать сходимость мажорирующего его числового ряда

Обозначим через тригонометрические коэффициенты Фурье функции доопределив эту функцию произвольным образом в конечном числе точек, в которых не существует производная функции .

Производя интегрирование по частям и учитывая, что функция непрерывна на всем сегменте и удовлетворяет соотношениями получим следующие соотношения:

которые связывают между собой тригонометрические коэффициенты Фурье функции и самой функции

Таким образом,

и для доказательства сходимости ряда (8.42) достаточно доказать сходимость ряда

Сходимость ряда (8.43) вытекает из элементарных неравенств

и из сходимости рядов

первый из которых сходится в силу равенства Парсеваля для кусочно непрерывной функции а второй — в силу интегрального признака Коши—Маклорена (см. п. 4 § 2 гл. 1). Теорема доказана.

Замечание. Если функцию удовлетворяющую условиям теоремы 8.9, периодически (с периодом продолжить на всю бесконечную прямую, то теорема 8.9 будет утверждать сходимость тригонометрического ряда Фурье к так продолженной функции, равномерную на всей бесконечной прямой.