Глава 2. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ

Для представления различных функций в математическом анализе широко используются ряды и последовательности, членами которых являются не числа, а функции, определенные на некотором фиксированном множестве.

Такие ряды и последовательности, называемые функциональными, всесторонне изучаются в настоящей главе.

§ 1. ПОНЯТИЯ СХОДИМОСТИ В ТОЧКЕ и РАВНОМЕРНОЙ СХОДИМОСТИ НА МНОЖЕСТВЕ

1. Понятия функциональной последовательности и функционального ряда.

Предположим, что на числовой прямой или в -мерном евклидовом пространстве задано некоторое множество

Если каждому числу из натурального ряда чисел ставится в соответствие по определенному закону некоторая функция определенная на множестве то множество занумерованных функций мы и будем называть функциональной последовательностью.

Отдельные функции будем называть членами или элементами рассматриваемой последовательности, а множество на котором определены все функции будем называть областью определения этой последовательности.

Заметим, что если область определения является множеством в -мерном евклидовом пространстве то каждая функция является функцией т. переменных где — координаты точек х.

Для обозначения функциональной последовательности мы, как правило, будем использовать фигурные скобки:

Рассмотрим функциональную последовательность областью определения которой является некоторое множество

Формально написанную сумму

бесконечного числа членов указанной функциональной последовательности будем называть функциональным рядом.

При этом отдельные функции мы будем называть членами рассматриваемого ряда, а множество на котором определены эти функции, будем называть областью определения этого ряда.

Как и в случае числового ряда, сумму первых членов функционального ряда (2.1) будем называть частичной суммой этого ряда.

Отметим, что изучение функциональных рядов совершенно эквивалентно изучению функциональных последовательностей, ибо каждому функциональному ряду (2.1) однозначно соответствует функциональная последовательность

его частичных сумм и, наоборот, каждой функциональной последовательности (2.2) однозначно соответствует функциональны» ряд (2.1) с членами

Примеры. 1°. Рассмотрим последовательность функций каждая из которых определена на сегменте к имеет вид

На рис. 2.1 приведены графики функций Областью определения функциональной последовательности (2.3) является сегмент [0, 1].

Рис. 2.1

Заметим, что каждая функция непрерывна на сегменте [0, 1].

2°. Рассмотрим функциональный ряд

областью определения которого является плоскость

Используя разложение по формуле Маклорена функции

(см. п. 2 § 9 гл. 6 ч. 1), мы придем к выводу, что частичная сумма

ряда (2.4) отличается от функции на величину где — остаточный член в формуле Маклорена для