3. Некоторые другие формулы векторного анализа.
Допустим, что в области D заданы скалярное поле 
и векторное поле 
причем все частные производные второго порядка функций
непрерывны в области D. Тогда 
дифференцируемое скалярное поле, 
дифференцируемые векторные поля. Следовательно, можно повторно применять дифференциальные операторы 
и имеют смысл следующие операции:
Пусть 
— фиксированный ортонормированный базис, с которым связана декартова прямоугольная система координат 
Утверждение. Имеют место следующие пять соотношений:
где
Доказательство. Все эти формулы доказываются по одной схеме: последовательно применяются дифференциальные операторы к скалярному или векторному полю. Докажем, например, первое равенство. Вектор 
имеет координаты поэтому для 
и по формулам (6.24) получаем выражение
Докажем второе равенство (см. формулу (6.23)):
Символ А («дельта») имеет специальное название — оператор Лапласа. Символически можно записать: 
Докажем еще третье соотношение, предоставив доказательство двух остальных равенств читателю. Запишем соотношение
где
Далее,
Подставляя вместо 
его выражение, получим правую часть третьего соотношения. Утверждение доказано.
Замечание. Как уже неоднократно подчеркивалось, величины 
инвариантны. Поэтому инвариантны и величины 
. Следовательно, в любой системе координат имеем, например, что
