7. Суммируемость тригонометрического ряда Фурье непрерывной функции методом средних арифметических.
Мы уже отмечали, что тригонометрический ряд Фурье всюду непрерывной и периодической (с периодом 
функции может быть расходящимся (см. п. 1). Докажем, что этот ряд тем не менее всегда суммируем (равномерно на всей прямой) методом Чезаро (методом средних арифметических) 
Теорема 8.16 (теорема Фейера) 
Если функция 
непрерывна на сегменте 
и удовлетворяет условию 
то средние арифметические частичных сумм ее тригонометрического ряда Фурье
сходятся (к этой функции) равномерно на сегменте 
(а в случае, если функция продолжена на всю прямую с периодом 
равномерно на всей прямой).
Доказательство. Из равенства (8.55) для 
следует, что
Для вычисления суммы, стоящей в (8.78) в квадратных скобках, просуммируем тождество
по всем 
. В результате получим
С помощью этого равенства (8.78) приводится к виду
Из (8.79) в свою очередь немедленно следует, что
так как левая часть (8.80) равна среднему арифметическому частичных сумм тригонометрического ряда Фурье функции 
а все указанные частичные суммы тождественно равны единице (см. п. 2).
Фиксируем произвольное 
. Согласно теореме Вейерштрасса 8.7 найдется тригонометрический многочлен 
такой, Что
для всех х числовой прямой. В силу линейности средних арифметических 
, так что
Запишем равенство (8.79) для функции 
Учитывая неотрицательность называемой ядром Фейера функции 
и используя оценку (8.81) и равенство (8.80) получим
Неравенство (8.83) справедливо для любого номера 
совпадает с этим многочленом. Отсюда следует, что все частичные суммы 
, начиная с некоторого номера 
равны 
Но это позволяет нам для фиксированного выше произвольного 
отыскать номер 
такой, что
при всех 
и всех х. Теорема доказана.
