§ 3. СВЕДЕНИЕ ДВОЙНОГО ИНТЕГРАЛА К ПОВТОРНОМУ ОДНОКРАТНОМУ

Эффективным способом вычисления двойных интегралов является сведение их к однократным интегралам.

1. Случай прямоугольника.

Начнем с простого случая, когда область интегрирования представляет собой прямоугольник

Теорема 3.6. Пусть функция интегрируема в прямоугольнике и пусть для каждого существует однократный интеграл

Тогда существует повторный интеграл

и справедливо равенство

Доказательство. Разобьем прямоугольник с помощью точек на пр частичных прямоугольников

Пусть, как и в § 1, число А обозначает диаметр разбиения прямоугольника верхняя и нижняя суммы функции Тогда всюду на прямоугольнике

Фиксируем произвольное число и проинтегрируем неравенство (3.13) по у в пределах от до положив в нем Получим

Умножим (3.14) на просуммируем полученные неравенства сначала по всем I от 1 до , а затем по всем от 1 до Используя обозначение (3.11), будем иметь

Пусть Тогда и При этом стремятся к двойному интегралу Следовательно, существует предел и среднего члена в (3.15), равный тому же самому двойному интегралу. Но этот предел по определению однократного интеграла равен

Таким образом, доказано существование повторного интеграла и равенство (3.12). Теорема доказана.

Замечание. Из доказательства теоремы 3.6 ясно, что можно поменять ролями, т. е. можно предположить существование двойного интеграла и существование для любого однократного интеграла

Тогда теорема будет утверждать существование повторного интеграла

и равенство его двойному интегралу.