§ 3. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА

В этом параграфе мы будем изучать случай равномерного относительно стремления функции двух переменных к предельной функции при

Пусть функция определена на множестве состоящем из пар где х принадлежит множеству а у принадлежит множеству и У — множества числовой оси. Предположим, что является предельной точкой множества X (т. е. для любого числа а множества содержит по крайней мере одну точку из X).

Определение 1. Функция стремится равномерно о но у на множе нкции при стремящемся к если для любого найдется такое число что для любых принадлежащих X и удовлетворяющих условию и для любых у из У выполняется неравенство

1. Несобственные интегралы первого рода, зависящие от параметра.

Перейдем теперь к изучению несобственных интегралов. Пусть функция определена при всех при всех у из некоторого множества и при каждом фиксированном у из У интегрируема на т. е. для каждого у из У сходится интеграл

Определение 2. Несобственный интеграл (7.5) называется сходящимся равномерно по параметру у на множестве если функция

равномерно на множестве У стремится к предельной функции при

Справедлив следующий критерий равномерной сходимости несобственного интеграла, зависящего от параметра.

Теорема 7.7 (критерий Коши). Для того чтобы несобственный интеграл (7.5) сходился равномерно на множестве У, необходимо и достаточно, чтобы для любого существовало такое число что при всех превосходящих и при всех у из У было справедливо неравенство

Справедливость этого критерия вытекает теоремы 7.1, примененной к функции

Из критерия Коши, в частности, вытекает следующий признак сравнения.

Теорема 7.8 (признак Вейерштрасса). Пусть при всех у из и всех х, принадлежащих полуоси где для функции выполнено неравенство

где — интегрируемая (в несобственном смысле) на функция. Тогда интеграл (7.5) сходится равномерно.

Доказательство. Поскольку интеграл сходится, то для любого числа найдется такое число что при любых таких, что выполняется неравенство

Тогда

что и требовалось доказать.

Замечание 1. Из критерия Коши равномерной сходимости несобственного интеграла вытекает, что интеграл (7.5) и его «остаток» (т. е. интеграл вида где равномерно сходятся одновременно.

Замечание 2. Аналогично тому, как был доказан признак Дирихле—Абеля для несобственных интегралов (см. дополнение 1 к гл. 9 ч. 1), доказывается следующее утверждение (признак Дирихле-Абеля):

Если интеграл равномерно ограничен,

т. е. при всех и у из выполнено условие ограничена и монотонно стремится к нулю при то интеграл сходится равномерно.

Перейдем теперь к изучению свойств зависящих от параметра несобственных интегралов.

Теорема 7.9. Пусть для любого превосходящего а, функция равномерно на сегменте стремится к функции при , где — предельная точка множества и интеграл

сходится равномерно на множестве У, Тогда

Доказательство. Докажем интегрируемость на функции Для произвольного найдем число такое, что для любых превосходящих и для всех у из выполнено неравенство

Зафиксировав произвольные превосходящие перейдем в этом неравенстве к пределу при получим

Это и доказывает сходимость интеграла

Пусть — произвольная последовательность такая, что Введем в рассмотрение функциональную последовательность

которая равномерно на множестве сходится к функции определяемой равенством (7.5). В силу утверждения 2 § 1 для каждой из функций существует конечный предел при Более того,

Но тогда существует и предел

поскольку согласно теореме 2.7 гл. 2 символ предела равномерно сходящейся последовательности и символ предела

дела функции можно переставлять местами. Теорема доказана.

Допустим, в частности, что точка принадлежит множеству и функция непрерывна в точке при любом стремится равномерно на сегменте при Тогда непрерывна в точке

Таким образом, мы приходим к следующей теореме.

Теорема 7.9 (о непрерывности несобственного интеграла по параметру). Пусть как функция двух переменных непрерывна при и у из а интеграл равномерно на сходится. Тогда функция непрерывна на

Доказательство, Можно утверждать, что для каждого прямоугольника функция равномерно на сегменте стремится к при (см. утверждение 6 § 1). Поэтому при для интегралов введенных при доказательстве теоремы 7.9, выполнены условия предельного перехода под знаком интеграла. Отсюда и из равномерной на сходимости получаем, что

т. е. функция непрерывна. Теорема доказана.

Теорема 7.10. Пусть как функция двух переменных непрерывна и неотрицательна при х, принадлежащем полупрямой принадлежащем сегменту Пусть далее интеграл непрерывен по у на Тогда этот интеграл сходится равномерно по у на

Доказательство. Рассмотрим последовательность непрерывных на функций, и пусть не убывая. Последовательность монотонно не убывая, сходится к непрерывной функции Следовательно, можно применить признак Дини (теорема 2.4 гл. 2). Теорема доказана.

Теорема 7.11. Пусть как функция двух переменных непрерывна и неотрицательна при х, принадлежащем полупрямой и у, принадлежащем сегменту Пусть при функция монотонно не убывая в каждой точке х по у, сходится к непрерывной функции Тогда из сходимости интеграла следует возможность предельного перехода при под знаком интеграла (7.5).

Доказательство. Действительно, интеграл (7.5) сходится равномерно на по признаку Вейерштрасса (теорема 7.8), поскольку интегрируема на Поэтому в силу теоремы 7.9 можно переходить к пределу под знаком интеграла, что и требовалось доказать.

Перейдем теперь к рассмотрению вопроса об интегрировании несобственного интеграла по параметру.

Теорема 7.12 (об интегрировании несобственного интеграла по параметру). Пусть функция как функция двух переменных непрерывна при х, принадлежащем полупрямой и при у, принадлежащем сегменту и пусть интеграл равномерно сходится. Тогда функция интегрируема на и имеет место формула

Доказательство. Согласно теореме 7.9 функция непрерывна на а следовательно, и интегрируема на Докажем формулу Рассмотрим последовательность функций где . В силу теоремы 7.3 для каждой функции получаем

Поскольку на последовательность равномерно сходится к то под знаком интеграла, стоящего слева в формуле (7.7), можно сделать предельный переход при Следовательно, при существует предел последовательности интегралов, стоящих в правой части (7.7).

Таким образом,

что и требовалось доказать.

Теперь докажем теорему об интегрировании несобственного интеграла (7.5) по бесконечному промежутку изменения параметра у.

Теорема 7.13. Пусть как функция двух переменных непрерывна и неотрицательна в области

теграл непрерывен на полупрямой а интеграл непрерывен на полупрямой

Тогда из сходимости одного из двух интегралов следует сходимость другого из этих интегралов и справедливость равенства

или

Таким образом, в условиях этой теоремы несобственный интеграл, зависящий от параметра, можно интегрировать по параметру под знаком несобственного интеграла и в случае бесконечного промежутка изменения параметра.

Доказательство. В силу условий доказываемой теоремы и в силу теоремы 7.10 интегралы сходятся равномерно: первый на сегменте при любом а второй на сегменте при любом Пусть, например, сходится повторный интеграл . Рассмотрим неубывающую последовательность . Тогда Последовательность

при любом превосходящем с, равномерно на сегменте сходится к При этом последовательность не убывает на Отсюда и из теоремы 7.11 вытекает, что интеграл сходится равномерно. Но тогда под знаком этого интеграла согласно теореме 7.9 можно сделать предельный переход, т. е. имеет место формула

что и требовалось доказать.

Рассмотрим теперь вопрос о дифференцировании по параметру несобственного интеграла.

Теорема 7.14 (о дифференцируемости несобственного интеграла по параметру). Пусть функция и ее производная непрерывны в области Пусть, далее, интеграл сходится в каждой точке у сегмента а интеграл сходится равномерно на сегменте Тогда при любом у из функция имеет производную причем

Доказательство. Пусть

Последовательность непрерывных функций сходится в каждой точке к функции а последовательность производных сходится равномерно на сегменте Тогда согласно утверждению 5 § 1 для любой точки у сегмента существует

Но Следовательно,