3. Композиция функций и взаимно обратные отображения.

Богатым источником новых функций, с одной стороны, и способом расчленения сложных функций на более простые — с другой, является операция композиции отображений.

Если отображения таковы, что одно из них (в нашем случае ) определено на множестве значений другого то можно построить новое отображение

значения которого на элементах множества X определяются формулой

Построенное составное отображение называют композицией отображения и отображения (в таком порядке!).

Рисунок 7 иллюстрирует конструкцию композиции отображений

С композицией отображений вы уже неоднократно встречались как в геометрии, рассматривая композицию движений плоскости или пространства, так и в алгебре при исследовании «сложных» функций, полученных композицией простейших элементарных функций.

Рис. 7

Операцию композиции иногда приходится проводить несколько раз подряд, и в этой связи полезно отметить, что она ассоциативна, т. е.

Действительно,

Это обстоятельство, как и в случае сложения или умножения нескольких чисел, позволяет опускать скобки, предписывающие порядок спаривания.

Если в композиции все члены одинаковы и равны то ее обозначают коротко

Хорошо известно, например, что корень квадратный из положительного числа а можно вычислить последовательными приближениями по формуле

начиная с любого начального приближения Это не что иное, как последовательное вычисление где Такая процедура, когда вычисленное на предыдущем шаге значение функции на следующем шаге становится ее аргументом, называется итерационным процессом. Итерационные процессы широко используются в математике.

Отметим также, что даже в том случае, когда обе композиции определены, вообще говоря,

Действительно, возьмем, например, двухэлементное множество и отображения Тогда, очевидно, в то время как .

Отображение , сопоставляющее каждому элементу множества X его самого, т. е. будем обозначать через и называть тождественным отображением множества X.

Лемма.

Действительно, если

и, значит, сюръективно.

Далее, если , то

следовательно, инъективно.

Через операцию композиции отображений можно описать взаимно обратные отображения.

Утверждение. Отображения являются биективными и взаимно обратными в том и только в том случае, когда силу леммы одновременное выполнение условий гарантирует сюръективность и инъективность, т. е. биективность каждого из отображений

Эти же условия показывают, что в том и только в том случае, когда

Выше мы исходили из явного построения обратного отображения. Из доказанного утверждения следует, что мы могли бы дать менее наглядное, но зато более симметричное определение взаимно обратных отображений как таких, которые удовлетворяют двум условиям: (см. в этой связи задачу в конце параграфа).