§ 6. Некоторые следствия теоремы о неявной функции

1. Теорема об обратной функции

Определение 1. Отображение где и V — открытые подмножества в называется -диффеоморфизмом или диффеоморфизмом гладкости если

2) f — биекция;

-диффеоморфизмы называют гомеоморфизмами.

Здесь мы, как правило, будем рассматривать только гладкий случай, т. е. случай или

Следующая часто используемая теорема в идейном плане утверждает, что если дифференциал отображения обратим в точке, то само отображение обратимо в некоторой окрестности этой точки.

Теорема 1 (теорема об обратной функции). Если отображение области Если таково, что

то существуют окрестность Если точки и окрестность точки такие, что есть -диффеоморфизм. При этом если то

Соотношение перепишем в виде

Функция определена при т. е. определена в окрестности точки

Мы хотим разрешить уравнение (1) относительно в некоторой окрестности точки В силу условий 1°, 2°, 3° теоремы отображение таково, что

По теореме о неявной функции найдутся окрестность точки и отображение такие, что для любой точки

и

В нашем случае

где Е — единичная матрица; поэтому

Если положить то соотношение (2) показывает, что отображения взаимно обратны, т. е. на У.

Поскольку то V — окрестность точки Это означает, что при условиях 1°, 2°, 3° образ точки внутренней для является точкой, внутренней для образа множества . В силу формулы (3) матрица обратима. Значит, отображение обладает свойствами 1°, 2°, 3° относительно области V и точки . Тогда по уже доказанному внутренняя точка множества

Поскольку условия 1°, 2°, 3° в силу формулы (3), очевидно, выполнены в любой точке у Е V, то любая точка является внутренней точкой множества Таким образом, — открытая (и, очевидно, даже связная) окрестность точки

Теперь проверено, что отображение удовлетворяет всем условиям определения 1 и утверждению теоремы

Приведем несколько примеров, иллюстрирующих теорему 1. Очень часто теорема об обратной функции используется при переходе от одной системы координат к другой системе координат. Простейший вариант такого преобразования координат рассматривался в аналитической геометрии и линейной алгебре и имел вид

или, в компактной записи, Это линейное преобразование имеет обратное определенное во всем пространстве тогда и только тогда, когда матрица обратима, т. е. при условии, что

Теорема об обратной функции является локальным вариантом этого утверждения, опирающимся на то обстоятельство, что гладкое отображение в

малой окрестности точки ведет себя примерно так же, как его дифференциал в этой точке.

Пример 1. Полярные координаты. Отображение полуплоскости на плоскость задаваемое формулами

проиллюстрировано на рис. 57.

Рис. 57

Якобиан этого отображения, как нетрудно подсчитать, равен , т. е. отличен от нуля в окрестности любой точки где . Таким образом, формулы (4) локально обратимы и, значит, локально числа могут быть приняты в качестве новых координат точки, которую раньше задавали декартовы координаты .

Координаты являются хорошо известной системой криволинейных координат на плоскости — это полярные координаты. Их геометрический смысл виден из рис. 57. Отметим, что в силу периодичности функций отображение (4) при только локально диффеоморфно, а во всей этой области оно не является биективным. Именно поэтому переход от декартовых координат к полярным всегда сопровождается выбором ветви (т. е. указанием диапазона изменения) аргумента

Полярные координаты в трехмерном пространстве называют сферическими координатами. Они связаны с декартовыми координатами формулами

Геометрический смысл параметров показан на рис. 58.

Рис. 58

Якобиан отображения (5) равен и в силу теоремы 1 преобразование (5) обратимо в окрестности любой точки в которой

Множествам, где или в пространстве очевидно, отвечают соответственно сферическая поверхность (на сфере радиуса ), полуплоскость, проходящая через ось и поверхность конуса с осью

Таким образом, при переходе от координат к координатам например, сферическая поверхность и поверхность конуса локально распрямляются: им соответствуют куски плоскостей соответственно. Аналогичное явление мы наблюдали и в двумерном случае, когда дуге окружности на плоскости отвечал отрезок прямой на плоскости с координатами (см. рис. 57). Обратите внимание на то, что это именно локальное выпрямление.

В -мерном случае полярные координаты вводятся соотношениями

Якобиан этого преобразования равен

и в силу теоремы 1 оно тоже локально обратимо всюду, где этот якобиан отличен от нуля.

Пример 2. Общая идея локального выпрямления кривых. Новые координаты обычно вводят с целью упростить аналитическую запись объектов, участвующих в задаче, и сделать их более обозримыми в этой новой записи.

Пусть, например, на плоскости некоторая кривая задана уравнением

Пусть — гладкая функция, а точка такова, что она лежит на кривой, т. е. и не является критической точкой функции например, пусть .

Попробуем подобрать координаты так, чтобы в них дуге нашей кривой, содержащей отвечал отрезок одной из координатных линий, наг пример линии

Положим

Матрица Якоби

этого преобразования имеет своим детерминантом величину которая по предположению отлична от нуля в точке Тогда по теореме 1 это отображение является диффеоморфизмом окрестности точки на окрестность точки Значит, в пределах указанной окрестности числа можно принять за новые координаты точек, лежащих в окрестности точки

Рис. 59

В новых координатах наша кривая, очевидно, имеет уравнение и в этом смысле мы действительно добились ее локального выпрямления (рис. 59).