§ 2. Дифференциал функции многих переменных

1. Дифференцируемость и дифференциал функции в точке

Определение 1. Функция определенная на множестве называется дифференцируемой в точке , предельной для множества Е, если

где — линейная относительно функция, при

Векторы

называются соответственно приращением аргумента и приращециъм функции (отвечающим этому приращению аргумента). Эти векторы пр традиции обозначают символами самих функций от

Линейная функция в соотношении (1) называется дифференциалом, касательным отображением или производным отображением функции в точке .

Дифференциал функции в точке обозначается символами или

В соответствии с введенными обозначениями, соотношение (1) можно переписать в виде

или

Заметим, что дифференциал, в сущности, определен на смещениях от рассматриваемой точки

Чтобы это подчеркнуть, с точкой связывают свой экземпляр векторного пространства и обозначают его через или можно трактовать как совокупность векторов, приложенных к точке Ет. Векторное пространство называют касательным пространством к в точке Происхождение этой терминологии прояснится позже.

Значение дифференциала на векторе есть вектор приложенный к точке и аппроксимирующий приращение функции, вызванное приращением h аргумента х.

Итак, или есть линейное отображение

Мы видим, что, в полном соответствии с уже изученным нами одномерным случаем, функция многих переменных с векторными значениями дифференцируема в точке, если ее приращение в этой точке как функция приращения аргумента линейно по с точностью до поправки бесконечно малой при в сравнении с приращением аргумента.