4. Геометрическая интерпретация множества действительных чисел и вычислительные аспекты операций с действительными числами

а. Числовая ось.

По отношению к действительным числам часто используется образный геометрический язык, связанный с тем обстоятельством, что, как в общих чертах известно из школы, в силу аксиом геометрии между точками прямой и множеством Е вещественных чисел можно установить взаимно однозначное соответствие . Причем это соответствие связано с движениями прямой. А именно, если Т — параллельный перенос прямой по себе, то существует число (зависящее только от Т) такое, что для любой точки

Число соответствующее точке называется координатой точки Ввиду взаимной однозначности отображения координату точки часто называют просто точкой. Например, вместо фразы «отметим точку, координата которой 1», говорят «отметим точку 1». Прямую при наличии указанного соответствия называют координатной осью, числовой осью или числовой прямой. Ввиду биективности само множество Е вещественных чисел также часто называют числовой прямой, а его элементы — точками числовой прямой.

Как отмечалось, биективное отображение , задающее на координаты, таково, что при параллельном переносе Т координаты образов точек прямой отличаются от координат самих точек на одну и ту же величину . Ввиду этого полностью определяется указанием точки с координатой 0 и точки с координатой 1 или, короче, точки нуль, называемой началом координат, и точки 1. Отрезок, определяемый этими точками, называется единичным отрезком. Направление, определяемое лучом с вершиной 0, содержащим точку 1, называется положительным, а движение в этом направлении (от 0 к 1) — движением слева направо. В соответствии с этим соглашением 1 лежит правее левее 1.

При параллельном переносе Т, переводящем начало координат в точку с координатой 1, координаты образов всех точек на единицу больше координат прообразов, поэтому мы находим точку с координатой 2, точку координатой точку с координатой , а также точку с координатой точку с координатой — Таким образом, получаем все точки с целыми координатами

Умея удваивать, утраивать, единичный отрезок, по теореме Фалеса его же можно разбить на соответствующее число конгруэнтных отрезков. Беря тот из них, одним концом которого является начало координат, для координаты х другого конца имеем уравнение Отсюда находим все точки с рациональными координатами —

Но останутся еще точки ведь есть же отрезки, несоизмеримые с единичным. Каждая такая точка (как и любая другая точка прямой) разбивает прямую

на два луча, на каждом из которых есть точки с целыми (рациональными) координатами (это следствие исходного геометрического принципа Архимеда). Таким образам, точка производит разбиение или, как говорят, сечение на два непустых множества X и Y, отвечающие рациональным точкам (точкам с рациональными координатами) левого и правого лучей. По аксиоме полноты найдется число с, разделяющее I и У, т. е. для Поскольку то , ибо в противном случае и между нашлось бы рациональное число, не лежащее ни в X, ни в Таким образом, Это однозначно определенное число с и ставится в соответствие указанной точке прямой.

Описанное сопоставление точкам прямой их координат доставляет наглядную модель как отношению порядка в Е (отсюда и термин «линейная упорядоченность»), так и аксиоме полноты, или непрерывности Е, которая на геометрическом языке означает, что в прямой «нет дыр», разбивающих ее на два не имеющих общих точек куска (такое разбиение осуществляется некоторой точкой прямой

Мы не станем вдаваться в дальнейшие детали конструкции отображения поскольку геометрическую интерпретацию множества действительных чисел мы будем привлекать исключительно для наглядности и для возможного подключения весьма полезной геометрической интуиции читателя. Что же касается формальных доказательств, то, как и до сих пор, они будут опираться либо на тот набор фактов, который мы уже получили из аксиоматики действительных чисел, либо непосредственно на эту аксиоматику.

Геометрический же язык мы будем использовать постоянно.

Введем следующие обозначения и названия для перечисленных ниже числовых множеств:

— интервал

— отрезок

— полуинтервал содержащий конец

— полуинтервал содержащий конец а.

Определение Интервалы, отрезки и полуинтервалы называются числовыми промежутками или просто промежутками. Числа, определяющие промежуток, называются его концами.

Величина называется длиной промежутка Если I — некоторый промежуток, то длину его мы будем обозначать через (происхождение такого обозначения вскоре станет понятным).

Множества

а также , принято называть неограниченными промежутками.

В соответствии с таким употреблением символов +оо (читается «плюс бесконечность») и -оо (читается «минус бесконечность») для обозначения неограниченности числового множества X сверху (снизу), принято писать

Определение 7. Интервал, содержащий точку , будем называть окрестностью этой точки.

В частности, при интервал называется -окрестностью точки х. Его длина .

Расстояние между числами измеряется длиной промежутка, концами которого они являются.

Чтобы не разбираться при этом, «где лево, а где право», т. е. или и чему равна длина, или можно использовать полезную функцию

называемую модулем или абсолютной величиной числа.

Определение 8. Расстоянием между называется величина

Расстояние неотрицательно и равно нулю только при совпадении х и у; расстояние от х до у и от у до х одно и то же, ибо наконец, если , то т. е. имеет место так называемое неравенство треугольника.

Неравенство треугольника следует из свойства абсолютной величины числа, которое также называется неравенством треугольника (ибо получается из предыдущего при и замене у на —у). А именно, для любых чисел справедливо неравенство

причем равенство в нем имеет место в том и только в том случае, когда оба числа неотрицательны или неположительны.

Если , то и равенство установлено.

Если , то и опять равенство имеет место.

Пусть теперь одно из чисел отрицательно, а другое положительно, например, Тогда либо , либо . В первом случае во втором т. е. в обоих случаях

Используя принцип индукции, можно проверить, что

причем равенство имеет место, если и только если все числа одновременно неотрицательны или одновременно неположительны.

Число - часто называется серединой или центром промежутка с концами , поскольку оно равноудалено от концов промежутка.

В частности, точка является центром своей -окрестности и все точки -окрестности удалены от х меньше чем на

b. Задание числа последовательностью приближений.

Измеряя реальную физическую величину, мы получаем число, которое, как правило, меняется при повторном измерении, особенно если изменить инструмент или метод измерения. Таким образом, результатом измерения обычно является некоторое приближенное значение искомой величины. Качество или точность измерения характеризуется, например, величиной возможного уклонения истинного значения величины от ее значения, полученного в результате измерения. При этом может случиться, что точное значение величины (если оно в принципе существует) мы так никогда и не предъявим. Встав, однако, на более конструктивную позицию, можно (или следует) считать, что мы вполне знаем искомую величину, если в состоянии измерить ее с любой наперед заданной точностью. Такая позиция означает отождествление числа с последовательностью все более точных его приближений числами, получаемыми при измерении. Но всякое измерение есть конечная совокупность сравнений с некоторым эталоном или с соизмеримой с ним его частью, поэтому результат измерения должен выражаться натуральными, целыми или, более общо, рациональными числами. Значит, последовательностями рациональных чисел в принципе можно описать все множество вещественных чисел, построив после должного анализа математическую копию или, лучше сказать, модель того, что делают с числами люди, не подозревающие об их аксиоматическом описании. А они вместо сложения и умножения неизвестных им измеряемых величин складывают и умножают их приближенные значения (не всегда, правда, умея сказать, какое отношение имеет результат таких действий к тому, что получилось бы, если бы эти действия производились с точнымй значениями величин; ниже мы обсудим этот вопрос).

Отождествив число с последовательностью его приближенных значений, мы, таким образом, желая, например, сложить два числа, должны складывать последовательности их приближенных значений. Получающуюся при этом новую последовательность чисел надо считать новым числом, называемым суммой первых двух. Но число ли это? Деликатность вопроса состоит в том, что

не каждая случайным образом построенная последовательность служит последовательностью сколь угодно точных приближений некоторой величины. То есть необходимо еще научиться по самой последовательности узнавать, представляет она некоторое число или нет. Другой вопрос, который возникает при попытке математического копирования операций с приближенными числами, состоит в том, что разные последовательности могут быть последовательностями приближений одной и той же величины. Соотношение между последовательностями приближений, определяющими число, и самими числами примерно такое же, как между точкой на карте и указкой, которая указывает нам эту точку. Положение указки определяет точку, но точка определяет положение только конца указки, не мешая взять указку по-другому, поудобнее.

Этим вопросам дал точное описание и реализовал всю намеченную здесь в общих чертах программу построения модели вещественных чисел еще О. Коши. Надо надеяться, что после изучения теории пределов вы будете в состоянии самостоятельно повторить эти конструкции Коши.

Сказанное до сих пор, разумеется, не претендует на математическую строгость. Цель этого неформального отступления — обратить внимание читателя на принципиальную возможность одновременного существования различных естественных моделей действительных чисел; х пытался также дать некоторое представление об отношении чисел к тому, что нас окружает, и пояснить фундаментальную роль натуральных и рациональных чисел; наконец, мне хотелось показать естественность и необходимость приближенных вычислений.

Последующая часть настоящего пункта посвящена используемым в дальнейшем и представляющим самостоятельный интерес простым, но важным оценкам погрешностей, возникающих при арифметических операциях над приближенными величинами.

Переходим к точным формулировкам.

Определение 9. Если х — точное значение некоторой величины, известное приближенное значение той же величины, то числа

называются соответственно абсолютной и относительной погрешностью приближения х. Относительная погрешность при не определена.

Поскольку значение х неизвестно, значения также неизвестны. Однако обычно бывают известны оценки сверху этих величин. В этом случае говорят, что абсолютная или относительная погрешность приближения х не превосходит или соответственно. На практике

приходится иметь дело только с оценками погрешностей, поэтому сами величины часто называют абсолютной и относительной погрешностями приближения, но мы этого делать не будем.

Запись означает, что

Например,

гравитационная постоянная

скорость света в вакууме

постоянная Планка ,

заряд электрона ,

масса покоя электрона .

Основным показателем точности измерения является величина относительной погрешности приближения, обычно выражаемая в процентах.

Так, в приведенных примерах относительные погрешности не превосходят соответственно

или, в процентах от результата измерения,

Оценим теперь погрешности, возникающие при арифметических операциях с приближенными величинами.

Утверждение. Если

то

если, кроме того,

то

Пусть Тогда

Из полученных оценок абсолютных погрешностей вытекают следующие оценки относительных погрешностей:

На практике, при работе с достаточно хорошими приближениями, поэтому пользуются соответствующими упрощенными, полезными, но формально неверными вариантами формул (2), (3), (2), (3):

Формулы (3), (3) показывают, что надо избегать деления на близкие к нулю или довольно грубые приближения, когда у или малы по абсолютной величине.

Формула (1) предостерегает от сложения приближенных величин, если они близки по абсолютной величине и противоположны по знаку, поскольку тогда близко к нулю.

Во всех этих случаях погрешности могут резко возрасти.

Например, пусть ваш рост дважды измерили некоторым прибором. Точность измерения ±0,5 см. Перед вторым измерением вам под ноги подложили лист бумаги. Тем не менее может случиться, что результаты измерений будут такими: см соответственно.

Таким образом, бессмысленно искать толщину бумаги в виде разности из которой только следует, что толщина не больше 0,8 см, что, конечно, очень грубо отражает (если это вообще можно назвать «отражает») истинное положение вещей.

Стоит, однако, обратить внимание и на другой, более оптимистичный вычислительный эффект, благодаря которому грубыми приборами удается провести сравнительно тонкие измерения. Например, если на том приборе, где только что измерили ваш рост, измерили высоту пачки в 1000 листов той же бумаги и получили результат см, то толщина одного листа мм, что вытекает из формулы (1).

То есть с абсолютной погрешностью, не превышающей 0,005 мм, толщина одного листа равна 0,2 мм. Относительная погрешность этого измерения не превышает 0,025 или 2,5%.

Эту идею можно развить и предложить, например, способ выделения слабого периодического сигнала из превышающих его случайных радиопомех, называемых обычно белым шумом.

с. Позиционная система счисления.

Выше говорилось о том, что каждое число можно задать последовательностью приближающих его рациональных чисел.

Теперь напомним важный в вычислительном отношении метод, который позволяет единообразно для каждого действительного числа строить такую последовательность рациональных приближений. Этот метод ведет к позиционной системе счисления.

Лемма. Если фиксировать число то для любого положительного числа найдется и притом единственное целое число такое, что

Проверим сначала, что множество чисел вида не ограничено сверху. В противном случае оно имело бы верхнюю грань 5 и по определению верхней грани нашлось бы натуральное число такое, что Но тогда — не верхняя грань нашего множества.

Поскольку то при поэтому мы заодно показали, что для любого числа найдется такое натуральное число что при любом натуральном будет

Отсюда вытекает, что для любого числа найдется число такое, что при всех натуральных будет

Действительно, достаточно положить тогда при

Итак, множество целых чисел удовлетворяющих неравенству при ограничено снизу. Тогда в нем есть минимальный элемент который, очевидно, и будет искомым, так как для него

Единственность такого целого числа к следует из того, что если и, например, то и поэтому если то

Действительно, из этого замечания видно, что неравенства из которых следует несовместны при

Воспользуемся этой леммой в следующей конструкции.

Фиксируем и возьмем произвольное положительное число

По лемме найдем единственное число такое, что

Определение 10. Число , удовлетворяющее соотношению (1), называется порядком числа х по основанию или (при фиксированном просто порядком числа х.

По принципу Архимеда найдем единственное натуральное число такое, что

Учитывая (1), можно утверждать, что

Все дальнейшие шаги нашего построения будут повторять тот шаг, который мы сейчас сделаем, исходя из соотношения (2).

Из соотношения (2) и принципа Архимеда следует, что существует и притом единственное число такое, что

Если уже сделано таких шагов и получено, что

то по принципу Архимеда найдется единственное число такое, что

Таким образом, указан алгоритм, по которому положительному числу однозначно ставится в соответствие последовательность чисел

из множества или, менее формально, последовательность рациональных чисел специального вида:

причем так, что

Иными словами, мы строим всё лучшие приближения снизу и сверху для числа х посредством специальной последовательности рациональных чисел (4). Символ есть шифр всей последовательности Чтобы по нему можно было восстановить последовательность необходимо как-то отметить величину — порядок числа х.

Условились при после ставить точку или запятую; при слева от дописывать нулей и после крайнего левого ставить точку или запятую (напомним, что ).

Например, при

при

Таким образом, значение цифры в символе зависит от позиции, которую она занимает по отношению к точке или запятой.

После этого соглашения символ позволяет однозначно восстановить всю последовательность приближений.

Из неравенств (5) видно (проверьте!), что двум различным числам отвечают различные последовательности значит, и разные символы

Теперь решим вопрос, всякому ли символу вида отвечает некоторое число . Оказывается, нет.

Заметим, что в силу описанного алгоритма последовательного получения чисел может случиться так, что все они, начиная с некоторого, будут одинаковы и равны

Действительно, если при

т. е.

то в силу (5)

Тогда для любого

что, как мы знаем из доказанной выше леммы, невозможно.

Полезно также отметить, что если среди чисел хотя бы одно меньше то вместо (6) можно написать, что

или, что то же самое,

Теперь мы в состоянии доказать, что любой символ составленный из чисел в котором как угодно далеко встречаются числа, отличные от соответствует некоторому числу

В самом деле, по символу построим последовательность вида (4). В силу того, что также учитывая (6) и (7), имеем

Знак строгого неравенства в последнем соотношении следует понимать так: любой элемент левой последовательности меньше любого элемента правой последовательности. Это вытекает из (7).

Если теперь взять то последовательность будет удовлетворять условиям (4), (5), т. е. символ отвечает найденному числу .

Итак, каждому положительному числу мы взаимно однозначно сопоставили символ вида если или если

Он называется -ичной позиционной записью числа цифры, входящие в символ, называют знаками; позиции знаков относительно запятой называются разрядами.

Числу условимся сопоставлять взятый со знаком минус символ положительного числа Наконец, числу 0 отнесем символ

Тем самым завершено построение позиционной -ичной системы записи действительных чисел.

Наиболее употребительными являются десятичная система (в обиходе) и по техническим причинам двоичная (в электронных вычислительных машинах).

Менее распространены, но также используются в элементах вычислительной техники троичная и восьмеричная системы.

Формулы (4), (5) показывают, что если в -ичной записи числа х оставить только конечное число знаков (или, если угодно, заменить остальные знаки нулями), то абсолютная погрешность получающегося при этом приближения (4) числа х не превысит единицы последнего сохраняемого разряда.

Это наблюдение позволяет в соответствии с полученными в подпункте формулами оценивать погрешности, возникающие при арифметических операциях над числами в результате замены точных значений чисел соответствующими приближенными значениями вида (4).

Последнее замечание имеет также определенную теоретическую ценность. А именно, если в соответствии с идеей подпункта мы отождествим вещественное число х с его -ичной записью, то, научившись выполнять арифметические действия непосредственно над -ичными символами, мы построим новую модель действительных чисел, по-видимому, наиболее ценную с вычислительной точки зрения.

Основные задачи, которые пришлось бы решать на этом пути, таковы.

Надо двум -ичным символам поставить в соответствие новый символ — сумму исходных. Он, естественно, строится постепенно, а именно, складывая все более точные рациональные приближения исходных чисел, будем получать соответствующие рациональные приближения их суммы. Пользуясь сделанным выше замечанием, можно показать, что по мере увеличения точности приближений слагаемых мы будем получать все больше таких д-ичных знаков суммы, которые уже не меняются при последующем уточнении приближений.

Тот же вопрос надо решать и относительно умножения.

Другой, менее конструктивный путь перехода от рациональных чисел ко всем действительным числам принадлежит Дедекинду.

Дедекинд отождествляет действительное число с сечением в множестве рациональных чисел, т. е. с разбиением на два не имеющих общих элементов множества А, В таких, что При таком подходе к действительным числам принятая нами аксиома полноты (непрерывности) становится известной теоремой Дедекинда. По этой причине аксиому полноты в принятой нами форме часто называют аксиомой Дедекинда.

Итак, в настоящем параграфе выделены важнейшие классы чисел. Показана фундаментальная роль натуральных и рациональных чисел. Показано, как из принятой нами аксиоматики вытекают основные свойства этих чисел. Дано представление о различных моделях множества действительных чисел. Обсуждены вычислительные аспекты теории действительных чисел: оценки погрешностей при арифметических операциях с приближенными величинами; -ичная позиционная система счисления.