2. Касательное пространство.

При рассмотрении закона движения материальной частицы в исходя из соотношения

и считая, что точка не является критической для отображения мы определили прямую, касательную к траектории в точке как линейное подмножество в задаваемое в параметрическом виде уравнением

или уравнением

где — направляющий вектор прямой.

В сущности, аналогичную вещь мы делали, определяя плоскость, касательную к графику функции Действительно, дополнив соотношение тривиальными равенствами мы получаем отображение касательным к которому в точке является линейное отображение

где

Полагая здесь и обозначая через указанную в (8) матрицу Якоби рассматриваемого отображения, замечаем, что ее ранг равен двум и что в этих обозначениях соотношение (8) имеет вид (6).

Особенность соотношения (8) состоит в том, что из трех равенств:

совокупности которых оно равносильно, только последнее нетривиально. Поэтому именно оно осталось у нас как уравнение, задающее плоскость, касательную к графику функции в точке

Сделанное наблюдение можно использовать, чтобы теперь дать определение -мерной плоскости, касательной к -мерной гладкой поверхности Если

Из определения 1 поверхности видно, что в окрестности любой своей точки -мерная поверхность может быть задана параметрически, т. е. с помощью отображения В качестве такового может выступать ограничение отображения на -мерную плоскость (см. рис. 62).

Поскольку диффеоморфизм, то якобиан отображения в любой точке куба отличен от нуля. Но тогда ранг отображения полученного ограничением на указанную плоскость, должен быть равен к в любой точке куба

Полагая теперь и обозначая отображение через получаем локальное параметрическое представление поверхности обладающее свойством, выраженным равенством (5), на основании которого уравнение (6) принимаем в качестве уравнения касательного пространства или касательной плоскости к поверхности Если в точке

Итак, мы принимаем следующее

Определение 2. Если -мерная поверхность Если к в окрестности точки задана параметрически с помощью гладкого отображения такого, что и матрица имеет ранг к, то -мерная плоскость в задаваемая параметрически матричным равенством (6), называется касательной плоскостью или касательным пространством к поверхности в точке

В координатной записи равенству (6) соответствует система уравнений

Пространство, касательное к поверхности в точке будем, как и прежде, обозначать символом

Важным и полезным упражнением, которое читатель может проделать самостоятельно, является доказательство инвариантности определения касательного пространства и проверка того, что линейное отображение касательное к отображению задающему локально поверхность осуществляет отображение пространства на плоскость (см. задачу 3 в конце параграфа).

Выясним теперь, как выглядит уравнение касательной плоскости к -мерной поверхности заданной в системой (2). Будем для определенности считать, что в окрестности рассматриваемой точки выполнено условие (3).

Полагая запишем систему (2) в виде

а условие (3) — в виде

В окрестности точки по теореме о неявной функции перейдем от соотношения (11) к эквивалентному ему соотношению

дополняя которое тождеством получаем параметрическое представление поверхности в окрестности точки :

На основании определения 2, из (14) получаем параметрическое уравнение

касательной плоскости; здесь Е — единичная матрица,

Подобно тому, как это было в случае системы (9), в системе (15) оставляем только нетривиальное уравнение

которое и содержит в себе связи переменных с переменными выделяющие касательное пространство.

Пользуясь тем, что по теореме о неявной функции

перепишем (16) в виде

откуда после возвращения к переменным получаем искомое уравнение

касательного пространства Если

В координатном представлении уравнение (17) равносильно системе уравнений

Ранг этой системы по условию равен поэтому она задает -мерную плоскость в

Аффинное уравнение (17) эквивалентно (если указана точка векторному уравнению

В котором

Значит, вектор лежит в плоскости касательной в точке к поверхности Если заданной уравнением в том и только в том случае, когда он удовлетворяет условию (19). Таким образом, можно рассматривать как векторное пространство векторов , удовлетворяющих уравнению (19).

Именно с этим обстоятельством и связан сам термин касательное пространство.

Докажем теперь следующее, уже встречавшееся нам в его частном случае (см. §

Утверждение. Пространство касательное к гладкой поверхности Если в точке состоит из векторов, касательных в точке к гладким кривым, лежащим на поверхности и проходящим через точку

Пусть поверхность в окрестности точки задана в виде системы уравнений (2), которую мы коротко запишем как

где Пусть произвольный гладкий путь с носителем на поверхности Взяв будем считать, что Поскольку при то после подстановки в уравнение (20) получаем

при . Дифференцируя это тождество по , находим, что

В частности, при полагая получаем

т. е. вектор , касательный к траектории в точке (в момент удовлетворяет уравнению (19) касательного пространства

Покажем теперь, что для любого вектора , удовлетворяющего уравнению (19), найдется гладкий путь который задает кривую на поверхности проходит при через точку и имеет вектор своим вектором скорости в момент

Этим заодно будет установлено само существование гладких кривых, проходящих на через точку которое мы неявно предполагали в уже проведенной первой части доказательства утверждения.

Пусть для определенности выполнено условие (3). Тогда, зная первые к координат вектора мы из уравнения (19) (равносильного системе однозначно определим остальные его координаты Таким образом, если для некоторого вектора будет установлено, что он удовлетворяет уравнению (19), то можно заключить, что Воспользуемся этим.

Вновь, как это было сделано выше, введем для удобства обозначения Тогда уравнение (20) будет иметь вид (11), а условие (3) — вид (12). В подпространстве Если переменных возьмем параметрически заданную прямую

с направляющим вектором , который мы обозначим через В более коротких обозначениях эта прямая может быть записана в виде

Решая уравнение (11) относительно в силу теоремы о неявной функции получим гладкую функцию (13), подставляя в аргумент которой правую часть равенства (22), с учетом самого равенства (22), получим гладкую кривую в заданную в следующем виде:

Поскольку то, очевидно, эта кривая лежит на поверхности . Кроме того, из равенств (23) видно, что при кривая проходит через точку

Дифференцируя по тождество

при получаем

где Это равенство показывает, что вектор удовлетворяет уравнению (19). Таким образом, в силу сделанного вьппе замечания заключаем, что Но вектор является вектором скорости при для траектории (23). Тем самым высказанное утверждение доказано полностью.