НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ КОЛЛОКВИУМОВ

Введение в анализ (число, функция, предел)

1. Длину стягивающего земной шар по экватору обруча увеличили на 1 метр. Образовался зазор. Достаточен ли он для прохода муравья? Каковы величины абсолютного и относительного увеличения радиуса Земли при таком увеличении длины экватора? (Радиус Земли ~ 6400 км.)

2. Как связаны полнота (непрерывность) действительных чисел, неограниченность натурального ряда и принцип Архимеда? Почему любое действительное число можно сколь угодно точно приблизить рациональным? Объясните на модели рациональных дробей (рациональных функций), что принцип Архимеда может быть нарушен, и в таких числовых системах натуральный ряд ограничен и имеются бесконечно малые числа.

3. Четыре букашки, сидевшие в вершинах единичного квадрата, стали двигаться друг за другом с единичной скоростью, держа курс на преследуемого. Нарисуйте траектории их движения. Какова длина каждой траектории? Каков закон движения (в декартовых и полярных координатах)?

4. Нарисуйте диаграмму вычисления итерационным процессом

Как связано решение уравнений с отысканием неподвижных точек? Как находить

5. Пусть при Верно ли, что тогда и при

6. Методом неопределенных коэффициентов (или иначе) найдите несколько первых коэффициентов (или все) степенного ряда для при

(Интерполируя коэффициенты при одйнаковых степенях х в таких разложениях, Ньютон выписал закон образования коэффициентов при любом а — бином Ньютона.)

7. Зная степенное разложение функции еж, найдите методом неопределенных коэффициентов (или иначе) несколько первых членов (или все) степенного разложения функции

8. Вычислите , когда А — одна из матриц

9. Сколько членов ряда для надо взять, чтобы получить многочлен, позволяющий вычислять на отрезке с точностью до ?

10. Нарисуйте эскизы графиков следующих функций:

Дифференциальное исчисление функций одной переменной

1. Покажите, что если вектор ускорения в любой момент ортогонален вектору скорости движения, то величина остается постоянной.

2. Пусть — соответственно координата и время движущейся точки в двух системах отсчета. Считая известными формулы перехода из одной системы отсчета в другую, найдите формулу преобразования скоростей, т. е. связь между

3. Функция - при дифференцируема на но разрывна при (проверьте). «Докажем», однако, что если дифференцируема на то непрерывна в любой точке а По теореме Лагранжа

где — точка между о и Тогда если , то . По определению,

и поскольку этот предел существует, то существует и равен ему предел правой части формулы Лагранжа, т. е. Непрерывность в точке а «доказана». Где ошибка?

4. Пусть имеет производную в точке и пусть — средняя точка в формуле Лагранжа остаточного члена так что Покажите, что если .

5. Докажите неравенство

где числа неотрицательны и

6. Показать, что

поэтому естественно считать, что (формула Эйлера) и

7. Найдите форму поверхности жидкости, равномерно вращающейся в стакане.

8. Покажите, что касательная к эллипсу в точке имеет уравнение и что световые лучи от источника, помещенного в одном из фокусов эллипса с полуосями собираются эллиптическим зеркалом в другом фокусе.

9. Частица без предварительного разгона под действием силы тяжести начинает скатываться с вершины ледяной горки эллиптического профиля. Уравнение профиля: . Рассчитайте траекторию движения частицы до ее приземления.

Интеграл и введение в многомерный анализ

1. Зная неравенства Гёльдера, Минковского и Иенсена для сумм, получите соответствующие неравенства для интегралов.

2. Вычислить интеграл с относительной погрешностью в пределах

3. Функция называемая интегралом вероятности ошибок, имеет пределом 1 при Изобразите график этой функции и найдите ее производную. Покажите, что при

Как продолжить эту асимптотическую формулу до ряда? Сходится ли этот ряд хотя бы при каком-то значении

4. Зависит ли длина пути от закона движения (от параметризации)?

5. Вы держите один конец резинового шнура длиной 1 км. От второго его конца, который закреплен, к вам со скоростью 1 см/с ползет жук. Каждый раз, как только он проползает 1 см, вы удлиняете резинку на 1 км. Доползет ли жук до вашей руки? Если да, то приблизительно сколько ему на это потребуется времени? (Задача Л. Б. Окуня, предложенная им А. Д. Сахарову.)

6. Подсчитайте работу по перемещению массы в гравитационном поле Земли и покажите, что эта работа зависит только от уровней высот исходного и конечного положений. Найдите для Земли работу выхода из ее гравитационного поля и соответствующую (вторую) космическую скорость.

7. На примере маятника и двойного маятника поясните, как на множестве соответствующих конфигураций можно ввести локальные координаты и окрестности и как при этом возникает естественная топология, превращающая его в конфигурационное пространство механической системы. Можно ли метризовать это пространство в рассмотренных случаях?

8. Является ли компактом единичная сфера в

9. Подмножество данного множества называется его -сетью) если любая точка множества находится на расстоянии меньшем чем от какой-либо точки этого подмножества. Обозначим через наименьшее возможное число точек в -сети данного множества. Оцените - энтропию отрезка, квадрата, куба и ограниченной области в пространстве Дает ли величина при представление о размерности рассматриваемого множества? Может ли такая размерность быть равной, например, 0,5?

10. На поверхности единичной сферы 5 в температура Т как функция точки меняется непрерывно. Обязаны ли на сфере быть точки минимума и максимума температуры? При наличии точек с двумя фиксированными значениями температуры, должны ли быть точки и с промежуточными ее значениями? Что из этого верно в случае, когда единичная сфера берется в пространстве температура в точке выражается в виде

11. а) Взяв 1,5 в качестве исходного приближения для проведите две итерации по методу Ньютона и посмотрите, сколько верных знаков получилось на каждом из двух шагов.

Найдите итерационным процессом функцию удовлетворяющую уравнению

Дифференциальное исчисление функций многих переменных

1. а) Какова относительная погрешность при вычислении значения функции в точке координаты которой даны с абсолютными погрешностями соответственно?

Какова относительная ошибка в вычислении объема комнаты, размеры которой таковы: длина ширина высота

Верно ли, что относительная погрешность значения линейной функции совпадает с относительной погрешностью значения ее аргумента?

Верно ли, что дифференциал линейной функции совпадает с ней самой?

Верно ли, что для линейной функции справедливо соотношение

2. а) Одна из частных производных функции двух переменных, заданной в круге, равна нулю во всех точках круга. Значит ли это, что функция не зависит от соответствующей переменной в этом круге?

Изменится ли ответ, если вместо круга взять произвольную выпуклую область?

если взять вообще произвольную область?

Пусть — закон движения точки в плоскости (или в в промежутке времени — ее скорость как функция времени, а — наименьшее выпуклое множество, содержащее все векторы (называемое обычно выпуклой оболочкой того множества, на которое оболочка натягивается). Покажите, что в С найдется такой вектор что

3. а) Пусть Верно ли, что Проверьте это на зависимости (соответствующей уравнению Клапейрона состояния идеального газа).

Пусть теперь Верно ли, что

Что можно утверждать в общем случае зависимости

Как, зная первые несколько членов тейлоровского разложения функции в окрестности точки где обратима, найти первые несколько членов тейлоровского разложения неявной функции определяемой в окрестности уравнением

4. а) Проверьте, что плоскость, касательная к эллипсоиду — точке может быть задана уравнением

Точка в момент времени стартовала с эллипсоида . Пусть — точка того же эллипсоида, ближайшая к в момент времени Найдите предельное положение точки при

5. а) В плоскости с декартовыми координатами постройте линии уровня функции и кривую Используя полученную картинку, проведите полное исследование задачи об экстремуме функции — ограничения на окружность

Какой физический смысл имеют множители Лагранжа в методе Лагранжа отыскания условного экстремума, когда ищется положение равновесия материальной точки в поле тяжести, если движение точки стеснено идеальными связями (например, вида