ГЛАВА VII. ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ, ИХ ПРЕДЕЛ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ

До сих пор мы рассматривали почти исключительно числовые функции в которых число определялось заданием одного числа х из области определения функции.

Однако многие величины, представляющие интерес, зависят не от одного, а от очень многих факторов, и если сама величина и каждый из определяющих ее факторов могут быть охарактеризованы некоторым числом, то указанная зависимость сводится к тому, что упорядоченному набору чисел, каждое из которых описывает состояние соответствующего фактора, ставится в соответствие значение исследуемой величины, которое она приобретает при этом состоянии определяющих величину факторов.

Например, площадь прямоугольника есть произведение длин его сторон; объем данного количества газа вычисляется по формуле

где — постоянная, — масса, Т — абсолютная температура и — давление газа. Таким образом, значение V зависит от переменной упорядоченной тройки чисел или, как говорят, V есть функция трех переменных .

Мы ставим себе целью научиться исследовать функции многих переменных так же, как мы научились исследовать функции одного переменного.

Как и в случае функций одного переменного, изучение функций многих числовых переменных начинается с описания их области определения.

§ 1. Пространство R^m и важнейшие классы его подмножеств

1. Множество R^m и расстояние в нем.

Условимся через обозначать множество всех упорядоченных наборов состоящих из действительных чисел

Каждый такой набор будем обозначать одной буквой и в соответствии с удобной геометрической терминологией называть точкой множества Число в наборе называют координатой точки

Геометрические аналогии можно продолжить и ввести на множестве расстояние между точками по формуле

Функция

определяемая формулой (1), очевидно, обладает следующими свойствами:

Последнее неравенство (называемое опять-таки по геометрической аналогии неравенством треугольника) есть частный случай неравенства Минковского (см. гл. V, § 4, п. 2).

Функцию, определенную на парах точек некоторого множества X и обладающую свойствами а), b), с), d), называют метрикой или расстоянием

Множество X вместе с фиксированной в нем метрикой называют метрическим пространством.

Таким образом, мы превратили в метрическое пространство, наделив множество метрикой, заданной соотношением (1).

Сведения о произвольных метрических пространствах читатель сможет получить в главе IX (часть II). Здесь же мы не хотим отвлекаться от необходимого нам сейчас конкретного метрического пространства

Поскольку в этой главе множество с метрикой (1) будет для нас единственным метрическим пространством, составляющим объект изучения, то общее определение метрического пространства нам по существу пока не нужно. Оно приведено только для пояснения употребляемого по отношению к множеству термина «пространство» и по отношению к функции (1) термина «метрика».

Из соотношения (1) следует, что при

т. е. расстояние между точками мало в том и только в том случае, когда мало отличаются соответствующие координаты этих точек.

Из (2), как и из (1), видно, что при множество совпадает с множеством действительных чисел, расстояние между точками которого измеряется стандартным образом посредством модуля разности чисел.