§ 5. Комплексные числа и взаимосвязь элементарных функций

1. Комплексные числа.

Подобно тому, как в области рациональных чисел алгебраическое уравнение не имело решений, уравнение — не имеет решений в области действительных чисел и подобно тому, как, вводя внешний по отношению к символ в качестве решения уравнения мы увязываем его с операциями в и получаем новые числа вида где можно ввести символ в качестве решения уравнения и связать это внешнее по отношению к число с действительными числами и арифметическими операциями в

Замечательной особенностью указанного расширения поля Е действительных чисел, кроме многого другого, является то, что в получающемся при этом поле С комплексных чисел уже любое алгебраическое уравнение с действительными или комплексными коэффициентами будет иметь решение.

Реализуем теперь намеченную программу.

a. Алгебраическое расширение поля R.

Итак, вводим (следуя обозначению Эйлера) новое число — мнимую единицу, такое, что

Взаимодействие с действительными числами должно состоять в том, что можно умножать на числа , т. е. необходимо появляются числа вида и складывать такие числа с вещественными, т. е. появляются числа вида где .

Если мы хотим, чтобы на множестве объектов вида которые мы вслед за Гауссом назовем комплексными числами, были определены привычные операции коммутативного сложения и коммутативного умножения, дистрибутивного относительно сложения, то необходимо положить по определению, что

и

Два комплексных числа считаются равными в том и только в том случае, когда

Отождествим числа числами вида — с числом Роль нуля в множестве комплексных чисел, как видно из (1), играет число роль единицы, как видно из (2), — число .

Из свойств вещественных чисел и определений (1), (2) следует, что множество комплексных чисел является полем, содержащим Е в качестве подполя.

Поле комплексных чисел будем обозначать символом С, а его элементы — чаще всего буквами

Единственный не очевидный момент в утверждении о том, что С — поле, который нуждается в проверке, состоит в том, что любое отличное от нуля комплексное число имеет обратное по отношению к умножению, т. е. Проверим это.

Число назовем сопряженным к числу и обозначим символом

Заметим, что , если Таким образом, в качестве следует взять .

b. Геометрическая интерпретация поля С.

Заметим, что после того, как алгебраические операции (1), (2) над комплексными числами введены, символ который привел нас к этим определениям, перестает быть необходимым.

Комплексное число мы можем отождествить с упорядоченной парой действительных чисел, называемых соответственно действительной частью и мнимой частью комплексного числа z (обозначения: ).

Но тогда, считая пару декартовыми координатами точки плоскости можно отождествить комплексные числа с точками этой плоскости или с двумерными векторами с координатами

В такой векторной интерпретации покоординатное сложение (1) комплексных чисел соответствует правилу сложения векторов. Кроме того, такая интерпретация естественно приводит также к понятию модуля комплексного числа как модуля или длины соответствующего ему вектора т. е.

а также к способу измерения расстояния между комплексными числами как расстояния между соответствующими им точками плоскости, т. е. с помощью величины

Множество комплексных чисел, интерпретируемое как множество точек плоскости, называется комплексной плоскостью и также обозначается символом С, подобно тому, как множество вещественных чисел и числовая прямая обозначаются одним символом

Поскольку точку плоскости можно задать также полярными координатами связанными с декартовыми координатами формулами перехода

комплексное число

можно также представить в виде

Записи (6) и (7) называют соответственно алгебраической и тригонометрической формами комплексного числа.

В записи (7) число называется модулем комплексного числа (ибо, как видно из (5), — аргументом числа Аргумент имеет смысл только при . В силу периодичности функций аргумент комплексного числа определен с точностью до величины, кратной и символом обозначают множество углов вида где — какой-то угол, удовлетворяющий соотношению (7). Если желают, чтобы комплексное число

однозначно определяло некоторый угол то договариваются заранее о диапазоне, в котором его выбирают. Чаще всего это бывает полуинтервал или полуинтервал Если такой выбор сделан, то говорят, что выбрана ветвь (или главная ветвь) аргумента. Значения аргумента в пределах выбранного диапазона обычно обозначают символом

Тригонометрическая форма (7) записи комплексных чисел удобна при выполнении операции умножения комплексных чисел. В самом деле, если

то

или

Таким образом, при умножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются.

Заметим, что мы на самом деле показали, что если то Но, поскольку аргумент определен с точностью до можно записать, что

понимая это равенство как равенство множеств, правое из которых есть совокупность чисел вида где Таким образом, сумму аргументов полезно понимать в смысле равенства (9).

При таком понимании равенства аргументов можно, например, утверждать, что два комплексных числа равны тогда и только тогда, когда соответственно равны их модули и аргументы.

Из формулы (8) по индукции вытекает следующая формула Муавра:

С учетом разъяснений по поводу аргумента комплексного числа формулу Муавра можно использовать, чтобы в явном виде выписать все комплексные решения уравнения

Действительно, если

и в силу формулы (10)

то ; откуда Различные комплексные числа получаются, очевидно, только при Итак, мы находим различных корней из а:

В частности, если имеем

Эти точки находятся на единичной окружности в вершинах правильного -угольника.

В связи с геометрической интерпретацией самих комплексных чисел полезно упомянуть о геометрической интерпретации арифметических действий над ними.

При фиксированном сумму можно интерпретировать как отображение С в себя, задаваемой формулой Это сдвиг плоскости на вектор

При фиксированном произведение можно интерпретировать как отображение в себя, являющееся композицией растяжения в раз и поворота на угол . Это видно из формулы (8).