2. Основные общие приемы отыскания первообразной.

В соответствии с определением символа (1) неопределенного интеграла, он обозначает функцию, производная которой равна подынтегральной функции. Исходя из этого определения, с учетом соотношения (2) и законов дифференцирования можно утверждать, что справедливы следующие соотношения:

с. Если на некотором промежутке

— гладкое непрерывно дифференцируемое) отображение промежутка в то

Равенства (5), (6), (7) проверяются прямым дифференцированием их левой и правой частей с использованием в (5) линейности дифференцирования, в (6) правила дифференцирования произведения и в (7) правила дифференцирования композиции функций.

Подобно правилам дифференцирования, позволяющим дифференцировать линейные комбинации, произведения и композиции уже известных функций, соотношения (5), (6), (7), как мы увидим, позволяют в ряде случаев сводить отыскание первообразной данной функции либо к построению первообразных более простых функций, либо вообще к уже известным первообразным. Набор таких известных первообразных может составить, например, следующая краткая таблица неопределенных интегралов, полученная переписыванием таблицы производных основных элементарных функций (см. § 2, п. 3):

Каждая из этих формул рассматривается на тех промежутках вещественной оси на которых определена соответствующая подынтегральная функция. Если таких промежутков несколько, то постоянная с в правой части может меняться от промежутка к промежутку.

Рассмотрим теперь некоторые примеры, показывающие соотношения (5), (6) и (7) в работе.

Сделаем предварительно следующее общее замечание.

Поскольку, найдя одну какую-нибудь первообразную заданной на промежутке функции, остальные можно получить добавлением постоянных, то условимся для сокращения записи всюду в дальнейшем произвольную постоянную добавлять только к окончательному результату, представляющему из себя конкретную первообразную данной функции.

а. Линейность неопределенного интеграла.

Этот заголовок должен означать, что в силу соотношения (5) первообразную от линейной комбинации функций можно искать как линейную комбинацию первообразных этих функций.

Пример 3.

Пример 4.

Пример 5.

b. Интегрирование по частям.

Формулу (6) можно переписать в виде

или, что то же самое, в виде

Это означает, что при отыскании первообразной функции дело можно свести к отысканию первообразной функции перебросив дифференцирование на другой сомножитель и частично проинтегрировав функцию, как показано в выделив при этом член Формулу (6) называют формулой интегрирования по частям.

Пример 6.

Пример 7.

с. Замена переменной в неопределенном интеграле.

Формула (7) показывает, что при отыскании первообразной функции можно поступать следующим образом:

т. e. сначала произвести замену под знаком интеграла и перейти к новой переменной затем, найдя первообразную как функцию от х, вернуться к старой переменной заменой

Пример 8.

Пример 9.

Мы рассмотрели несколько примеров, в которых использовались порознь свойства с неопределенного интеграла. На самом деле в большинстве случаев эти свойства используются совместно.

Пример 10.

Пример 11.

Пример 12.

Из полученного равенства заключаем, что

К этому результату можно было бы прийти, воспользовавшись формулой Эйлера и тем обстоятельством, что первообразной функции является функция

Это полезно иметь в виду и в будущем. При вещественном х это легко проверить непосредственно, продифференцировав действительную и мнимую части функции

В частности, отсюда получаем также, что

Уже этот небольшой набор разобранных примеров показывает, что при отыскании первообразных даже элементарных функций часто приходится прибегать к дополнительным преобразованиям и ухищрениям, чего совсем

не было при отыскании производных композиции тех функций, производные которых нам были известны. Оказывается, это не случайная трудность. Например, в отличие от дифференцирования, переход к первообразной элементарной функции может привести к функции, которая уже не является композицией элементарных. Поэтому не следует отождествлять фразу «найти первообразную» с невыполнимым порой заданием «выразить первообразную данной элементарной функции через элементарные функции». Вообще, класс элементарных функций — вещь очень условная. Имеется еще много важных для приложений специальных функций, которые изучены и затабулированы ничуть не хуже, чем, скажем, или функции, которая стремится к нулю при Такая первообразная существует, но, как и любая другая первообразная функции она не является композициеи элементарных функций.

Аналогично, функция

выделяемая условием при не является элементарной. Функция называется интегральным косинусом.

Первообразная функции также неэлементарна. Одна из первообразных этой функции обозначается символом И х и называется интегральным логарифмом. Она удовлетворяет условию при (Подробнее о специальных функциях Их будет сказано в гл. VI, § 5.)

Учитывая эти трудности отыскания первообразных, составлены довольно обширные таблицы неопределенных интегралов. Однако, чтобы успешно ими воспользоваться или чтобы не прибегать к ним, если вопрос совсем прост, необходимо иметь некоторые навыки обращения с неопределенными интегралами.

Дальнейшая часть этого параграфа посвящена интегрированию функций из некоторых специальных классов, первообразные которых выражаются в виде композиции элементарных функций.