ГЛАВА VI. ИНТЕГРАЛ
§ 1. Определение интеграла и описание множества интегрируемых функций
1. Задача и наводящие соображения.
Пусть точка движется вдоль числовой оси, 
— ее координата в момент 
— ее скорость в тот же момент 
Предположим, что мы знаем положение 
точки в момент 
и к нам поступают данные о ее скорости. Располагая ими, мы хотим вычислить 
для любого фиксированного значения 
Если считать скорость 
меняющейся непрерывно, то смещение точки за малый промежуток времени приближенно можно вычислить как произведение 
скорости в произвольный момент 
относящийся к этому промежутку времени, на величину 
самого промежутка. Учитывая это замечание, разобьем отрезок 
отметив некоторые моменты 
так, что 
и так, что промежутки 
малы. Пусть 
тогда имеем приближенное равенство
По нашим представлениям, это приближенное равенство будет уточняться, если переходить к разбиениям отрезка 
на всё более мелкие промежутки. Таким образом, надо полагать, что в пределе, когда величина А наибольшего из промежутков разбиения стремится к нулю, получим точное равенство
Это равенство есть не что иное, как фундаментальная для всего анализа формула Ньютона—Лейбница. Она позволяет, с одной стороны, численно
находить первообразную 
по ее производной 
с другой стороны, по найденной каким-либо способом первообразной 
функции 
найти стоящий слева предел сумм 
Такие суммы, называемые интегральными суммами, встречаются в самых разнообразных случаях.
Попробуем, например, следуя Архимеду, найти площадь под параболой 
над отрезком [0,1] (рис. 47). Не останавливаясь здесь на подробном обсуждении понятия площади фигуры, о котором речь будет идти несколько позже, мы, как и Архимед, будем действовать методом исчерпания фигуры посредством простейших фигур — прямоугольников, площади которых мы вычислять умеем. Разбив отрезок [0,1] точками 
на мелкие отрезки 
мы, очевидно, можем приближенно вычислить искомую площадь а как сумму площадей изображенных на рисунке прямоугольников:
здесь 
Полагая 
мы перепишем полученную формулу в виде
Рис. 47
В этих обозначениях в пределе будем иметь
где, как и выше, А — длина наибольшего из отрезков 
разбиения.
Формула (2) только обозначениями отличается от формулы (1). Забыв на миг о геометрическом смысле 
и считая х временем, 
скоростью, найдем первообразную 
функции 
и тогда по формуле (1) получим, что 
В нашем случае 
поэтому 
Это и есть результат Архимеда, который он получил прямым вычислением предела в (2).
Предел интегральных сумм называется интегралом. Таким образом, формула (1) Ньютона—Лейбница связывает интеграл и первообразную.
Перейдем теперь к точным формулировкам и проверке того, что на эвристическом уровне было получено выше из общих соображений.
