ГЛАВА VI. ИНТЕГРАЛ

§ 1. Определение интеграла и описание множества интегрируемых функций

1. Задача и наводящие соображения.

Пусть точка движется вдоль числовой оси, — ее координата в момент — ее скорость в тот же момент Предположим, что мы знаем положение точки в момент и к нам поступают данные о ее скорости. Располагая ими, мы хотим вычислить для любого фиксированного значения

Если считать скорость меняющейся непрерывно, то смещение точки за малый промежуток времени приближенно можно вычислить как произведение скорости в произвольный момент относящийся к этому промежутку времени, на величину самого промежутка. Учитывая это замечание, разобьем отрезок отметив некоторые моменты так, что и так, что промежутки малы. Пусть тогда имеем приближенное равенство

По нашим представлениям, это приближенное равенство будет уточняться, если переходить к разбиениям отрезка на всё более мелкие промежутки. Таким образом, надо полагать, что в пределе, когда величина А наибольшего из промежутков разбиения стремится к нулю, получим точное равенство

Это равенство есть не что иное, как фундаментальная для всего анализа формула Ньютона—Лейбница. Она позволяет, с одной стороны, численно

находить первообразную по ее производной с другой стороны, по найденной каким-либо способом первообразной функции найти стоящий слева предел сумм

Такие суммы, называемые интегральными суммами, встречаются в самых разнообразных случаях.

Попробуем, например, следуя Архимеду, найти площадь под параболой над отрезком [0,1] (рис. 47). Не останавливаясь здесь на подробном обсуждении понятия площади фигуры, о котором речь будет идти несколько позже, мы, как и Архимед, будем действовать методом исчерпания фигуры посредством простейших фигур — прямоугольников, площади которых мы вычислять умеем. Разбив отрезок [0,1] точками на мелкие отрезки мы, очевидно, можем приближенно вычислить искомую площадь а как сумму площадей изображенных на рисунке прямоугольников:

здесь Полагая мы перепишем полученную формулу в виде

Рис. 47

В этих обозначениях в пределе будем иметь

где, как и выше, А — длина наибольшего из отрезков разбиения.

Формула (2) только обозначениями отличается от формулы (1). Забыв на миг о геометрическом смысле и считая х временем, скоростью, найдем первообразную функции и тогда по формуле (1) получим, что

В нашем случае поэтому

Это и есть результат Архимеда, который он получил прямым вычислением предела в (2).

Предел интегральных сумм называется интегралом. Таким образом, формула (1) Ньютона—Лейбница связывает интеграл и первообразную.

Перейдем теперь к точным формулировкам и проверке того, что на эвристическом уровне было получено выше из общих соображений.