3. Простейшие операции над множествами.

Пусть А и В — подмножества множества М.

a. Объединением множеств А и В называется множество

состоящее из тех и только тех элементов множества М, которые содержатся хотя бы в одном из множеств А, В (рис. 2).

b. Пересечением множеств А и В называется множество

образованное теми и только теми элементами множества М, которые принадлежат одновременно множествам А и В (рис. 3).

Рис. 2

Рис. 3

Рис. 4

Рис. 5

c. Разностью между множеством А и множеством В называется множество

состоящее из тех элементов множества А, которые не содержатся в множестве В (рис. 4).

Разность между множеством М и содержащимся в нем подмножеством А обычно называют дополнением А в М и обозначают через или когда из контекста ясно, в каком множестве ищется дополнение к А (рис. 5).

Пример. В качестве иллюстрации взаимодействия введенных понятий проверим следующие соотношения (так называемые правила де Моргана:

Докажем, например, первое из этих равенств:

Таким образом, установлено, что

С другой стороны,

т. е.

Из (3) и (4) следует (1).

Прямое (декартово) произведение множеств. Для любых двух множеств А, В можно образовать новое множество — пару элементами которого являются множества А и В и только они. Это множество состоит из двух элементов, если , и из одного элемента, если

Указанное множество называют неупорядоченной парой множеств А, В, в отличие от упорядоченной пары , в которой элементы А, В наделены дополнительными признаками, выделяющими первый и второй элементы пары Равенство

упорядоченных пар по определению означает, что и . В частности, если , то .

Пусть теперь — произвольные множества. Множество

образованное всеми упорядоченными парами первый член которых есть элемент из X, а второй член — элемент из называется прямым или декартовым произведением множеств X и (в таком порядке!).

Из определения прямого произведения и сделанных выше замечаний об упорядоченной паре явствует, что, вообще говоря, . Равенство имеет место, лишь если . В последнем случае вместо пишут коротко .

Прямое произведение называют также декартовым произведением в честь Декарта, который независимо от Ферма пришел через систему координат к аналитическому языку геометрии. Известная всем система декартовых координат в плоскости превращает эту плоскость именно в прямое произведение двух числовых осей. На этом знакомом объекте наглядно проявляется зависимость декартова произведения от порядка сомножителей. Например, упорядоченным парам (0,1) и (1,0) отвечают различные точки плоскости.

В упорядоченной паре являющейся элементом прямого произведения множеств , элемент называется первой проекцией пары и обозначается через элемент — второй проекцией пары и обозначается через

Проекции упорядоченной пары по аналогии с терминологией аналитической геометрии часто называют (первой и второй) координатами пары.