ГЛАВА IV. НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ

§ 1. Основные определения и примеры

1. Непрерывность функции в точке.

Пусть — вещественнозначная функция, определенная в некоторой окрестности точки а

Описательно говоря, функция непрерывна в точке а, если ее значения по мере приближения аргумента х к точке а приближаются к значению функции в самой точке а.

Уточним теперь это описание понятия непрерывности функции в точке.

Определение 0. Функция называется непрерывной в точке а, если для любой окрестности значения функции в точке а найдется такая окрестность точки а, образ которой при отображении содержится в

Приведем формально-логическую запись этого определения вместе с двумя его вариациями, часто используемыми в анализе:

Эквивалентность этих формулировок для вещественнозначных функций следует из того, что (как уже неоднократно отмечалось) любая окрестность точки содержит некоторую симметричную окрестность этой точки.

Например, если по любой -окрестности точки можно подобрать окрестность точки а так, что то и для любой окрестности тоже можно подобрать соответствующую окрестность точки а. Действительно, достаточно сначала взять затем по найти Тогда

Таким образом, если функция непрерывна в точке а в смысле второго из приведенных определений, то она непрерывна в ней и в смысле исходного определения. Обратное очевидно, поэтому эквивалентность первых двух формулировок проверена.

Дальнейшую проверку оставляем читателю.

Чтобы не отвлекаться от основного определяемого понятия непрерывности функции в точке, мы сначала для простоты предположили, что функция определена в целой окрестности точки а. Рассмотрим теперь общий случай.

Пусть — вещественнозначная функция, определенная на некотором множестве , и а — точка области определения функции.

Определение 1. Функция называется непрерывной в точке а , если для любой окрестности значения функции, принимаемого ею в точке а, найдется такая окрестность точки а в множестве Е, образ которой содержится в

Итак,

Разумеется, определение 1 тоже можно записать в -форме, рассмотренной выше. Там, где нужны числовые оценки, это бывает полезно и даже необходимо.

Запишем эти вариации определения 1:

или

Обсудим теперь детально понятие непрерывности функции в точке.

1° Если а — изолированная, т. е. не предельная, точка множества Е, то найдется такая окрестность точки а, в которой нет других точек множества Е, кроме самой точки а. В этом случае и поэтому какова бы ни была окрестность Таким образом, в любой изолированной точке области определения функция, очевидно, непрерывна. Но это вырожденный случай.

2° Содержательная часть понятия непрерывности относится, таким образом, к тому случаю, когда и а — предельная точка множества Е. Из определения 1 видно, что

В самом деле, если а — предельная точка Е, то определена база проколотых окрестностей точки а.

Если непрерывна в точке а, то, найдя для окрестности окрестность такую, что мы одновременно будем иметь и в силу определения предела, таким образом,

Обратно, если известна, что то по окрестности найдем проколотую окрестность так, что Но поскольку то тогда и . В силу определения 1 это означает, что функция непрерывна в точке .

Поскольку соотношение можно переписать в форме

мы теперь приходим к полезному заключению, что непрерывные в точке функции (операции) и только они перестановочны с операцией предельного перехода. Это означает, что то число которое получается при выполнении операции над числом а, можно сколь угодно точно аппроксимировать значениями, получаемыми при выполнении операции над соответствующими заданной точности приближенными значениями х величины а.

4° Если заметить, что при окрестности точки а образуют базу (независимо от того, является ли а предельной или изолированной точкой множества), то мы увидим, что само определение 1 непрерывности функции в точке а совпадает с определением того, что число — значение функции в точке — является пределом функции по этой базе, т. е.

5° Заметим, однако, что если существует, то, поскольку для любой окрестности этот предел неизбежно оказывается равным

Таким образом, непрерывность функции в точке а равносильна существованию предела этой функции по базе окрестностей (но не проколотых окрестностей) точки а в Е.

Итак,

6° В силу критерия Коши существования предела теперь можно сказать, что функция непрерывна в точке тогда и только тогда, когда для любого найдется окрестность точки а в Е такая, на которой колебание функции меньше .

Определение 2. Величина есть -окрестность точки а в множестве Е) называется колебанием функции в точке а.

Формально символ уже занят, он обозначает колебание функции на множестве X. Однако мы никогда не будем рассматривать колебание функции на множестве, состоящем из одной точки (это колебание, очевидно, равно нулю); поэтому символ где а — точка, всегда будет обозначать то понятие колебания функции в точке, которое мы только что ввели определением 2.

Колебание функции на подмножестве не превышает колебания функции на множестве, поэтому величина есть невозрастающая функция от 5. Поскольку она неотрицательна, то либо она имеет конечный предел при либо при любом выполнено . В последнем случае естественно полагают

7° Используя определение 2, сказанное в 6° теперь можно резюмировать так: функция непрерывна в точке тогда и только тогда, когда ее колебание в этой точке равно нулю. Зафиксируем это:

Определение 3. Функция называется непрерывной на множестве Е, если она непрерывна в каждой точке множества Е.

Совокупность всех вещественнозначных функций, непрерывных на множестве Е, условимся обозначать символом или, короче,

Мы обсудили понятие непрерывности функции.

Рассмотрим теперь некоторые примеры.

Пример 1. Если — постоянная функция, то Это утверждение очевидно, ибо какова бы ни была окрестность точки с

Пример 2. Функция непрерывна на

Действительно, для любой точки имеем как только

Пример 3. Функция непрерывна на

В самом деле, для любой точки имеем

как только

Мы воспользовались неравенством доказанным в гл. пример 9.

Пример 4. Функция непрерывна на Действительно, как и в предыдущем примере, для любой точки имеем

как только

Пример 5. Функция непрерывна на

Действительно, по свойству 3) показательной функции (см. гл. III, § 2, п. 2d, пример 10а) в любой точке имеем

что, как мы теперь знаем, равносильно непрерывности функции в точке

Пример 6. Функция непрерывна в любой точке области определения

В самом деле, по свойству 3) логарифмической функции (см. гл. III, § 2, п. 2d, пример 10b) в любой точке имеем

что равносильно непрерывности функции в точке .

Попробуем, кстати, по заданному найти окрестность точки так, чтобы в любой точке иметь

Это неравенство равносильно соотношению

Пусть для определенности тогда последнее соотношение равносильно условию

Интервал и есть искомая окрестность точки Полезно обратить внимание на то, что эта окрестность зависит как от величины так и от самой точки чего не наблюдалось в примерах

Пример 7. Любая последовательность есть функция, непрерывная на множестве натуральных чисел, поскольку каждая точка множества является его изолированной точкой.