4. Начальные сведения о рядах

а. Сумма ряда и критерий Коши сходимости ряда.

Пусть последовательность действительных чисел. Напомним, что сумму принято обозначать символом Мы хотим теперь

придать точный смысл выражению подразумевающему суммирование всех членов последовательности

Определение 16. Выражение обозначают символом и обычно называют рядом или бесконечным рядом (чтобы подчеркнуть отличие его от суммы конечного числа слагаемых).

Определение 17. Элементы последовательности рассматриваемые как элементы ряда, называют членами ряда; элемент называют членом ряда.

Определение 18. Сумму называют частичной суммой ряда или, когда желают указать ее номер, частичной суммой ряда.

Определение 19. Если последовательность частичных сумм ряда сходится, то ряд называется сходящимся. Если последовательность не имеет предела, то ряд называют расходящимся.

Определение 20. Предел последовательности частичных сумм, если он существует, называется суммой ряда.

Именно в этом смысле мы и будем в дальнейшем понимать запись

Поскольку сходимость ряда равносильна сходимости последовательности его частичных сумм то применением к критерия Коши сразу получается

Теорема 6 (критерий Коши сходимости ряда). Ряд сходится тогда и только тогда, когда для любого найдется такое число что из следует

Следствие 1. Если в ряде изменить только конечное число членов, то получающийся при этом новый ряд будет сходиться, если сходился исходный ряд, и будет расходиться, если исходный ряд расходился.

Для доказательства достаточно в критерии Коши считать число превышающим максимальный из номеров измененных членов ряда.

Следствие 2. Для того чтобы ряд сходился, необходимо, чтобы его члены стремились к нулю при необходимо

Достаточно положить в критерии и воспользоваться определением предела последовательности.

Вот другое доказательство: и, коль скоро имеем

Пример 20. Ряд часто называют суммой бесконечной геометрической прогрессии. Исследуем его сходимость.

Поскольку то при будет и в этом случае не выполнен необходимый признак сходимости ряда.

Пусть теперь Тогда

поскольку если

Таким образом, ряд сходится тогда и только тогда, когда и в этом случае его сумма равна

Пример 21. Ряд называется гармоническим, поскольку каждый член этого ряда, начиная со второго, является средним гармоническим соседних с ним членов (см. задачу 6 в конце этого параграфа). Члены ряда стремятся к нулю, но последовательность его частичных сумм

как было показано с помощью критерия Коши в примере 10, расходится. Это означает в данном случае, что при

Итак, гармонический ряд расходится.

Пример 22. Рассмотрим теперь следующий пример.

Ряд расходится, что видно и по последовательности его частичных сзмм, и по тому, что чшены ряда не стремятся к нулю.

Если расставить скобки и рассмотреть новый ряд

членами которого являются суммы, заключенные в скобки, то этот новый ряд уже сходится, причем его сумма, очевидно, равна нулю.

Если скобки расставить иначе и рассмотреть ряд

то получится сходящийся ряд с суммой, равной 1.

Если в исходном ряде переставить все члены, равные —1, на две позиции вправо, то получим ряд

расставив в котором скобки, придем к ряду

сумма которого равна двум.

Эти наблюдения показывают, что привычные законы обращения с конечными суммами, вообще говоря, не распространяются на ряды.

И все-таки есть важный тип рядов, с которыми, как это потом выяснится, можно обращаться так же, как с конечными суммами. Это так называемые абсолютно сходящиеся ряды. Именно с ними мы главным образом и будем работать.

b. Абсолютная сходимость; теорема сравнения и ее следствия

Определение 21. Ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд

Поскольку из критерия Коши следует, что если ряд сходится абсолютно, то он сходится.

То, что обратное утверждение, вообще говоря, не имеет места, т. е. что абсолютная сходимость есть требование более сильное, чем просто сходимость ряда, можно продемонстрировать на примере.

Пример 23. Ряд частичные суммы которого равны либо либо 0, сходится к нулю.

Вместе с тем ряд из абсолютных величин его членов

расходится, что, как и для гармонического ряда, следует из критерия Коши:

Для того чтобы научиться отвечать на вопрос, сходится ли ряд абсолютно или нет, достаточно научиться исследовать на сходимость ряды с неотрицательными членами. Имеет место

Теорема 7 (критерий сходимости рядов с неотрицательными членами). Ряд члены которого — неотрицательные числа, сходится тогда и только тогда, корда последовательность его частичных сумм ограничена сверху.

Это следует из определения сходимости ряда и критерия сходимости неубывающей последовательности, каковой в данном случае является последовательность частичных сумм нашего ряда.

Из этого критерия вытекает следующая простая, но на практике очень полезная Теорема 8 (теорема сравнения). Пусть — два ряда с неотрицательными членами. Если существует номер такой, что при любом имеет место неравенство то из сходимости ряда вытекает сходимость ряда из расходимости ряда вытекает расходимость ряда

Поскольку конечное число членов не влияет на сходимость ряда, можно без ограничения общности считать, что для любого Тогда Если ряд сходится, то последовательность не убывая, стремится к пределу Тогда при любом и, следовательно, последовательность частичных сумм ряда ограничена. В силу критерия сходимости ряда с неотрицательными членами (теорема 7) ряд сходится.

Второе утверждение теоремы, рассуждая от противного, немедленно получаем из уже доказанного.

Пример 24. Поскольку при по теореме сравнения заключаем, что ряды сходятся или расходятся одновременно.

Но последний ряд можно просуммировать непосредственно, заметив, что И поэтому Значит, . Следовательно, ряд — также является сходящимся. Любопытно, что В дальнейшем это будет доказано.

Пример 25. Следует обратить внимание на то, что теорема сравнения относится только к рядам с неотрицательными членами. Действительно

положим, например, тогда ряд сходится, но ряд расходится.

Следствие 1 (мажорантный признак Вейерштрасса абсолютной сходимости ряда). Пусть — два ряда. Пусть существует номер такой, что при любом имеет место соотношение

При этих условиях для абсолютной сходимости ряда достаточно, тобы ряд 53 сходился.

Действительно, по теореме сравнения тогда ряд будет сходиться, что и означает абсолютную сходимость ряда

Этот важный достаточный признак абсолютной сходимости часто формулируют кратко: если члены ряда (по абсолютной величине) мажорируются членами сходящегося числового ряда, то исходный ряд сходится абсолютно.

Пример 26. Ряд 53 — абсолютно сходится, так как а 7 ряд 53 как мы выяснили в примере 24, сходится.

Следствие 2 (признак Коши). Пусть - данный ряд и а Тогда справедливы следующие утверждения:

то абсолютно сходится.

то ряд расходится.

Существуют как абсолютно сходящиеся, так и расходящиеся ряды, для которых

а) Если то можно выбрать число так, что Фиксировав число в соответствии с определением верхнего предела найдем номер такой, что при выполнено Таким образом, при будем иметь и, поскольку ряд при сходится, ряд (по теореме сравнения или признаку Вейерштрасса) сходится абсолютно.

Поскольку а является частичным пределом последовательности утверждение 1), то найдется подпоследовательность такая, что Если то найдется номер такой, что при любом будет тем самым необходимое условие сходимости для ряда не выполнено и он расходится.

Мы уже знаем, что ряд — расходится, а ряд сходится (абсолютно, так как Вместе с тем

Пример 27. Исследуем, при каких значениях ряд

сходится.

Подсчитаем Таким образом, при ряд сходится и даже абсолютно, а при ряд расходится. Случай требует специального рассмотрения. В нашем примере оно элементарно, ибо при для четных значений имеем и ряд расходится, поскольку для него не выполнено необходимое условие сходимости.

Следствие 3 (признак Даламбера). Пусть для ряда существует предел Тогда справедливы следующие утверждения:

Если то сходится абсолютно.

то ряд расходится.

Существуют как абсолютно сходящиеся, так и расходящиеся ряды, для которых

М а) Если то найдется такое число что фиксировав и учитывая свойства предела, найдем номер такой, что при любом будет Поскольку конечное число членов не влияет на характер

сходимости ряда, без ограничения общности будем считать, что при любом

Поскольку

мы получаем, что Но ряд сходится (его сумма, очевидно, равна поэтому ряд абсолютно сходится.

Если то, начиная с некоторого номера при любом будем иметь и, следовательно, для ряда не выполнено условие необходимое для сходимости.

Примерами в данном случае, как и в признаке Коши, могут служить ряды

Пример 28. Выясним, при каких значениях сходится ряд

При он, очевидно, сходится и даже абсолютно.

При имеем

Таким образом, этот ряд абсолютно сходится при любом значении .

Рассмотрим, наконец, еще один более специальный, но часто встречающийся класс рядов: ряды, члены которых образуют монотонную последовательность. Для таких рядов имеет место следующий необходимый и достаточный признак сходимости.

Утверждение 2 (Коши). Если то ряд сходится тогда и только тогда, когда сходится ряд

Поскольку

то, складывая эти неравенства, получим

где — частичные суммы рассматриваемых рядов. Последовательности неубывающие, и потому из полученных неравенств можно заключить, что они либо одновременно ограничены, либо одновременно не ограничены сверху. Но по критерию сходимости рядов с неотрицательными членами отсюда следует, что рассматриваемые два ряда действительно сходятся или расходятся одновременно.

Отсюда вытекает полезное

Следствие. Ряд — сходится при и расходится при

Если то по доказанному наш ряд сходится или расходится вместе с рядом

а для сходимости последнего ряда необходимо и достаточно, чтобы было

Если то расходимость ряда — очевидна, поскольку в этом случае все члены ряда больше 1.

Важность этого следствия состоит в том, что ряд 53 — часто служит основой для сравнения при исследовании сходимости рядов.

с. Число е как сумма ряда.

Заканчивая рассмотрение рядов, вернемся еще раз к числу и получим ряд, доставляющий уже довольно удобный способ вычисления е.

Мы будем использовать формулу бинома Ньютона при разложении выражения Те, кто не знаком с этой формулой из школы или не решил задачу из гл. II, § 2, могут, без потери связности изложения, опустить настоящее добавление о числе и вернуться к нему после формулы Тейлора, частным случаем которой можно считать формулу бинома Ньютона.

Нам известно, что

По формуле бинома Ньютона

таким образом, имеем С другой стороны, при любом фиксированном как видно из того же разложения, имеем

При левая часть этого неравенства стремится правая — к поэтому мы теперь можем заключить, что для любого

Но тогда из соотношения

получаем, что

В соответствии с определением суммы ряда мы теперь можем записать

Это уже вполне пригодное для вычисления представление числа е.

Оценим разность

Таким образом, чтобы абсолютная погрешность приближения числа числом не превосходила, например, достаточно, чтобы было

Этому условию удовлетворяет уже

Выпишем несколько первых десятичных знаков числа

Полученную оценку разности можно записать в виде равенства

Из такого представления числа немедленно следует его иррациональность. В самом деле, если предположить, что где то число должно быть целым, а вместе с тем

и тогда число — тоже должно быть целым, что невозможно.

Для сведения читателя отметим, что число не только иррационально, но даже трансцендентно.

Задачи и упражнения

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)