ГЛАВА III. ПРЕДЕЛ

Обсуждал различные стороны понятия действительного числа, мы, в частности, отметили, что при измерении реальных физических величин получаются последовательности их приближенных значений, с которыми затем и приходится работать.

Такое положение дел немедленно вызывает по крайней мере три следующих вопроса:

1) Какое отношение имеет полученная последовательность приближений к измеряемой величине? Мы имеем в виду математическую сторону дела, т. е. мы хотим получить точную запись того, что вообще означает выражение «последовательность приближенных значений» и в какой мере такая последовательность описывает значение величины; однозначно ли это описание или одна и та же последовательность может отвечать разным значениям измеряемой величины.

2) Как связаны операции над приближенными значениями величин с теми же операциями над их точными значениями и чем характеризуются те операции, при выполнении которых допустима подмена точных значений величий приближенными?

3) Как по самой последовательности чисел определить, может ли она быть последовательностью сколь угодно точных приближений значения некоторой величины?

Ответом на эти и близкие к ним вопросы служит понятие предела функции — одно из основных понятий анализа.

Изложение теории предела мы начнем с рассмотрения предела функций натурального аргумента (последовательностей) ввиду уже выяснившейся фундаментальной роли этих функций и потому, что на самом деле все основные факты теории предела отчетливо видны уже в этой простейшей ситуации.

§ 1. Предел последовательности

1. Определения и примеры.

Напомним следующее

Определение 1. Функция , областью определения которой является множество натуральных чисел, называется последовательностью.

Значения функции называются членами последовательности. Их принято обозначать символом элемента того множества, в которое идет отображение, наделяя символ соответствующим индексом аргумента, Саму последовательность в связи с этим обозначают символом также записывают в виде и называют последовательностью в X или последовательностью элементов множества X.

Элемент называется членом последовательности.

Всюду дальше в ближайших параграфах будут рассматриваться только последовательности действительных чисел.

Определение 2. Число называется пределом числовой последовательности если для любой окрестности точки А существует такой номер (выбираемый в зависимости от что все члены последовательности, номера которых больше содержатся в указанной окрестности точки А.

Ниже мы приведем формально-логическую зацись этого определения, но прежде укажем другую распространенную формулировку определения предела числовой последовательности:

Число называется пределом последовательности если для любого существует номер такой, что при всех имеем

Эквивалентность этих формулировок легко проверить (проверьте!), если заметить, что в любой окрестности точки А содержится некоторая -окрестность этой же точки.

Последняя формулировка определения предела означает, что, какую бы точность мы ни задали, найдется номер такой, что абсолютная погрешность приближения числа А членами последовательности меньше чем как только

Запишем теперь приведенные формулировки определения предела в логической символике, договорившись, что запись означает, что А — предел последовательности Итак,

и соответственно

Определение 3. Если , то говорят, что последовательность сходится к А или стремится к Л и пишут при

Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся. Последовательность, не имеющая предела, называется расходящейся.

Рассмотрим некоторые примеры.

Пример так как при

Пример так как при

Пример так как при

Пример так при

Пример если

Проверим это по определению предела. Как было доказано в гл. II, § 2, для любого можно найти число такое, что Поскольку то для любого будем иметь — и определение предела удовлетворено.

Пример 6. Последовательность членом — расходящаяся.

Действительно, если А — предел последовательности, то, как следует из определения предела, в любой окрестности А лежат все члены последовательности, за исключением, быть может, конечного их числа.

Число не может быть пределом данной последовательности, ибо вне -окрестности А при лежат все члены нашей последовательности вида для которых

Число 0 тоже не может быть пределом этой последовательности, поскольку, например, вне единичной окрестности нуля, очевидно, тоже имеется бесконечно много членов нашей последовательности.

Пример 7. Аналогично можно проверить, что последовательность для которой не имеет предела.