ГЛАВА VIII. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
§ 1. Линейная структура в R^m
1. R^m как векторное пространство.
Из курса алгебры вам уже хорошо известно понятие векторного пространства.
Если в 
ввести операцию сложения элементов 
формуле
а умножение элемента 
на число 
— соотношением
то 
становится линейным пространством над полем действительных чисел. Его точки теперь можно называть векторами.
Векторы
(где единица стоит лишь на 
месте) образуют максимальную линейно независимую систему векторов этого пространства, ввиду чего оно оказывается 
-мерным векторным пространством.
Любой вектор 
может быть разложен по базису (3), т. е. представлен в виде
Индекс при векторе мы условимся писать внизу, а координаты, как и до сих пор, будем отмечать верхним индексом. Это удобно по многим причинам, одна из которых, в частности, состоит в том, что, следуя Эйнштейну, можно
условиться выражения типа (4) записывать коротко в виде
считая, что появление одинакового индекса сверху и снизу означает суммирование по этому индексу в пределах диапазона его изменения.
