3. Оценка интеграла, монотонность интеграла, теоремы о среднем

а. Одна общая оценка интеграла.

Начнем с одной общей оценки интеграла, которая, как потом выяснится, справедлива не только для интегралов от действительнозначных функций.

Теорема 3. Если а то и справедливо неравенство

Если при этом на то

При утверждение тривиально, поэтому будем считать, что Для доказательства теоремы достаточно вспомнить теперь, что (см. утверждение 4 из § 1), и написать следующую оценку интегральной суммы

Переходя к пределу при получаем

b. Монотонность интеграла и первая теорема о среднем.

Все дальнейшее специфично для интегралов от действительнозначных функций.

Теорема 4. Если а в любой точке

При утверждение тривиально. Если же то достаточно записать для интегральных сумм неравенство

справедливое, поскольку и затем перейти в нем к пределу при

Теорему 4 можно трактовать как утверждение о монотонности зависимости интеграла от подынтегральной функции.

Из теоремы 4 получается ряд полезных следствий.

Следствие 1. Если а на то

и, в частности, если

Соотношение (12) получается, если проинтегрировать каждый член неравенств и воспользоваться теоремой 4.

Следствие то найдется число такое, что

Если то утверждение тривиально. Если то положим Тогда из (12) следует, что , если Но обе части (13) меняют знак при перестановке местами а и поэтому (13) справедливо и при

Следствие 3. Если то найдется точка такая, что

По теореме о промежуточном значении для непрерывной функции, на отрезке найдется точка , в которой если только

Таким образом, (14) следует из (13).

Равенство (14) часто называют первой теоремой о среднем для интеграла. Мы же зарезервируем это название для следующего, несколько более общего утверждения.

Теорема 5 (первая теорема о среднем для интеграла). Пусть Если функция неотрицательна (или неположительна) на отрезке то

где

Если, кроме того, известно, что найдется точка такая, что

Поскольку перестановка пределов интегрирования приводит к изменению знака одновременно в обеих частях равенства (15), то достаточно проверить это равенство в случае Изменение знака функции тоже одновременно меняет знак обеих частей равенства (15), поэтому можно без ограничения общности доказательства считать, что на

Поскольку то при

Поскольку то, применяя теорему 4 и теорему 1, получаем

Бели то, как видно из этих неравенств, соотношение (15) выполнено.

Если же то, полагая

из (17) находим, что

но это равносильно соотношению (15).

Равенство (16) теперь следует из (15) и теоремы о промежуточном значении для функции с учетом того, что в случае

Заметим, что равенство (13) получается из (15), если на

с. Вторая теорема о среднем для интеграла. Значительно более специальной и деликатной в рамках теории интеграла Римана является так называемая вторая теорема о среднем.

Чтобы не осложнять доказательство этой теоремы, сделаем несколько полезных заготовок, представляющих и самостоятельный интерес.

Преобразование Абеля. Так называется следующее преобразование суммы Пусть положим также Тогда

Итак,

или, поскольку

На основе преобразования Абеля легко проверяется следующая

Лемма 2. Если числа удовлетворяют неравенствам , а числа неотрицательны и при то

Используя то, что при из (19) получаем

Аналогично проверяется и левое неравенство в соотношении (20).

Лемма 3. Если то при любом определена функция

Существование интеграла (21) при любом нам уже известно из утверждения 4 § 1, поэтому остается проверить непрерывность функции Поскольку имеем на Пусть Тогда в силу аддитивности интеграла и неравенств (9), (10) получаем

Мы воспользовались неравенством (10) с учетом того, что при имеем

Итак, мы показали, что если то

откуда, очевидно, следует непрерывность функции в любой точке отрезка

Теперь докажем лемму, которая уже является вариантом второй теоремы о среднем.

Лемма 4. Если — неотрицательная и невозрастающая на отрезке функция, то найдется точка такая, что

Прежде чем переходить к доказательству, отметим, что, в отличие от соотношения (16) первой теоремы о среднем, в (23) под знаком интеграла осталась функция не монотонная функция

Для доказательства формулы (23), как и в уже рассмотренных выше случаях, постараемся оценить соответствующую интегральную сумму.

Пусть Р — разбиение отрезка Запишем сначала тождество

и покажем, что при последняя сумма стремится к нулю.

Поскольку то на Тогда, используя уже доказанные свойства интеграла, получаем

при , ввиду того, что (см. утверждение 2 из § 1). Значит,

Оценим теперь сумму, стоящую в правой части равенства (24). Положив

по лемме 3 получаем функцию, непрерывную на отрезке

Пусть

Поскольку то

Учитывая неотрицательность и невозрастание функции на и полагая

по лемме 2 находим, что

поскольку

Мы показали, что суммы (25) удовлетворяют неравенствам (26). Вспоминая соотношение (24), теперь имеем

Если то, как показывают неравенства (27), доказываемое соотношение (23), очевидно, справедливо.

Если же то положим

Из (27) следует, что , а из непрерывности функции на следует, что найдется точка в которой Но именно это и утверждает формула (23).

Теорема 6 (вторая теорема о среднем для интеграла). Если монотонная на функция, то найдется точка такая, что

Равенство (28) (как, впрочем, и равенство часто называют формулой Бонне

Пусть — неубывающая на функция. Тогда — неотрицательная, невозрастающая, интегрируемая на функция. Применяя формулу (23), находим

Но

Учитывая эти соотношения и свойство аддитивности интеграла, из (29) получаем доказываемое равенство (28).

Бели — невозрастающая функция, то, полагая получим, что — неотрицательная, невозрастающая, интегрируемая на функция. Далее вновь получаем формулу (29), а за ней и формулу (28).

Задачи и упражнения

(см. скан)

(см. скан)