6. Некоторые геометрические образы, связанные с функциями многих переменных

а. График функции и криволинейные координаты.

Пусть декартовы координаты точки пространства и пусть — непрерывная функция, определенная в некоторой области плоскости переменных

В силу общего определения графика функции, график функции в нашем случае есть множество в пространстве

Отображение определяемое соотношением очевидно, есть непрерывное взаимно однозначное отображение на , в силу которого любую точку множества можно задать, указывая соответствующую ей точку области или, что то же самое, задавая координаты этой точки

Таким образом, пары чисел можно рассматривать как некоторые координаты точек множества 5 — графика функции Поскольку точки задаются парами чисел, то 5 будем условно называть двумерной поверхностью в (общее определение поверхности будет дано позже).

Если задать путь в то автоматически возникает путь на поверхности Если — параметрическое задание пути Г, то путь на задается тремя функциями: . В частности, если положить то мы получим кривую на поверхности вдоль которой координата точек 5 не меняется. Аналогично можно указать кривую на 5, вдоль которой не меняется первая координата точек Эти линии на по аналогии с плоским случаем естественно называть координатными линиями на поверхности Однако, в отличие от координатных линий в Если являющихся кусками прямых, координатные линии на 5, вообще говоря, являются кривыми в По этой причине введенные координаты точек поверхности часто называют криволинейными координатами на .

Итак, график непрерывной функции определенной в области Если есть двумерная поверхность в точки которой можно задавать криволинейными координатами

Мы пока не останавливаемся на общем определении поверхности, поскольку сейчас нас интересует только частный случай поверхности — график функции, однако мы предполагаем, что из курса аналитической геометрии читателю хорошо знакомы некоторые важные конкретные поверхности в (плоскость, эллипсоид, параболоиды, гиперболоиды).

b. Касательная плоскость к графику функции.

Если функция дифференцируема в точке то это означает, что

где А и В — некоторые постоянные.

Рассмотрим в плоскость

где Сравнивая равенства (20) и (21), видим, что график нашей функции в окрестности точки хорошо аппроксимируется плоскостью (21). Точнее, точка графика функции уклоняется от точки плоскости (21) на величину, бесконечно малую в сравнении с величиной смещения ее криволинейных координат от координат точки

В силу единственности дифференциала функции, плоскость (21), обладающая указанным свойством, единственна и имеет вид

Она называется касательной плоскостью к графику функции в точке

Итак, дифференцируемость функции в точке и наличие у графика этой функции касательной плоскости в точке суть равносильные условия.

с. Нормальный вектор.

Записывая уравнение (22) касательной плоскости в каноническом виде

заключаем, что вектор

является нормальным вектором касательной плоскости. Его направление считается направлением, нормальным или ортогональным к поверхности (графику функции) в точке

В частности, если — критическая точка функции то в точке графика нормальный вектор имеет вид и, следовательно, касательная плоскость к графику функции в такой точке горизонтальна (параллельна плоскости

Следующие три рисунка иллюстрируют сказанное.

Рис. 53

На рис. 53 а, с изображено расположение графика функции по отношению к касательной плоскости в окрестности точки локального экстремума (соответственно, минимума и максимума), а на рис. 536 — в окрестности так называемой седловой критической точки.

d. Касательная плоскость и касательный вектор.

Мы знаем, что если путь задается дифференцируемыми функциями то вектор есть вектор скорости в момент Это направляющий вектор касательной в точке к кривой в являющейся носителем пути Г.

Рассмотрим теперь путь на графике функции задаваемый в виде В этом конкретном случае находим, что

откуда видно, что найденный вектор ортогонален вектору (23), нормальному к графику функции в точке Таким образом, мы показали, что если вектор касателен в точке к некоторой кривой на поверхности то он ортогонален вектору (23) и (в этом смысле) лежит в плоскости (22), касательной к поверхности в указанной точке. Точнее можно было бы сказать, что вся прямая лежит в касательной плоскости (22).

Покажем теперь, что верно и обратное утверждение, т. е. если прямая или, что же самое, вектор лежит в плоскости (22), касательной к графику функции в точке то на есть путь, для которого вектор является вектором скорости в точке

В качестве такового можно взять, например, путь

В самом деле, для него

Ввиду того, что

и по условию также

заключаем, что

Итак, касательная плоскость к поверхности в точке образована векторами, касательными в точке к кривым, проходящим на поверхности через указанную точку (рис. 54).

Это уже более геометричное описание касательной плоскости. Во всяком случае, из него видно, что если инвариантно (относительно выбора системы координат) определена касательная к кривой, то касательная плоскость также определена инвариантно.

Рис. 54

Для наглядности мы рассматривали функции двух переменных, однако все сказанное, очевидно, переносится и на общий случай функции

переменных, где

Плоскость, касательная к графику такой функции в точке запишется в виде

вектор

есть нормальный вектор плоскости (25). Сама эта плоскость, как и график функции (24), имеет размерность т. е. любая точка задается теперь набором из координат.

Таким образом, уравнение (25) задает гиперплоскость в

Дословно повторяя проведенные выше рассуждения, можно проверить, что касательная плоскость (25) состоит из векторов, касательных в точке к кривым, проходящим через эту точку и лежащим на -мерной поверхности — графике функции (24).

Задачи и упражнения

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)