2. Свойства предела функции.

Теперь установим ряд постоянно используемых свойств предела функции, многие из которых аналогичны уже доказанным свойствам предела последовательности и потому, в сущности, нам уже знакомы. Более того, на основании только что доказанного утверждения 1 многие важные свойства предела функции, очевидно, немедленно следуют из соответствующих свойств предела последовательности: единственность предела, арифметические свойства предела, предельный переход в неравенствах. Тем не менее мы вновь проведем все доказательства. В этом, как выяснится, есть определенный смысл.

Мы хотим обратить внимание читателя на то, что для установления всех свойств предела функции требуются всего два свойства проколотых окрестностей предельной точки множества: т. е. проколотая окрестность непуста, и т. е. в пересечении любой пары проколотых окрестностей содержится проколотая окрестность. Это наблюдение приведет нас к общему понятию предела функции и возможности в будущем использовать теорию предела уже не только для функций, определенных на числовых множествах. Чтобы изложение не было простым повторением сказанного в § 1, мы используем здесь некоторые новые полезные приемы и понятия, которые не демонстрировались в § 1.

а. Общие свойства предела функции.

Сначала несколько определений.

Определение 4. Функцию принимающую только одно значение, будем, как и прежде, называть постоянной. Функция называется финально постоянной при , если она постоянна в некоторой проколотой окрестности точки а, предельной для множества Е.

Определение 5. Функция называется ограниченной, ограниченной сверху, ограниченной снизу, если найдется число такое, что для любого выполнено соответственно

В случае, если первое, второе или третье из этих соотношений выполнено лишь в некоторой проколотой окрестности точки а, функция называется соответственно финально ограниченной при , финально ограниченной сверху при , финально ограниченной снизу при

Пример 7. Функция определенная этой формулой при не является ограниченной на области определения, но она финально ограничена при .

Пример 8. То же самое относится к функции на

Теорема при есть финально постоянная

Утверждение а) о наличии предела у финально постоянной функции и утверждение о финальной ограниченности функции, имеющей предел, вытекают прямо из соответствующих определений. Обратимся к доказательству единственности предела.

Предположим, что . Возьмем тогда окрестности так, чтобы они не имели общих точек, т. е. По определению предела имеем

Возьмем теперь проколотую окрестность точки а (предельной для Е) такую, что (например, можно взять поскольку это пересечение тоже есть проколотая окрестность).

Поскольку берем Тогда что невозможно, так как окрестности по построению не имеют общих точек.

b. Предельный переход и арифметические операции

Определение 6. Если две числовые функции имеют общую область определения то их суммой, произведением и частным называются соответственно функции, определенные на том же множестве

следующими формулами:

Теорема 2. Пусть — две функции с общей областью определения.

Если

Эта теорема, как уже отмечалось в начале пункта 2, непосредственно вытекает из соответствующей теоремы о пределах последовательностей, если учесть утверждение, доказанное в пункте 1.

Теорему можно получить также, повторив доказательство теоремы об арифметических свойствах предела последовательности. Все изменения в доказательстве, которые при этом придется провести, сведутся к тому, что всюду, где раньше мы выбирали начиная с нужно будет выбирать некоторую проколотую окрестность точки а в множестве Е. Советуем читателю проверить это.

Здесь же мы получим эту теорему из ее простейшего частного случая, когда (утверждение с) при этом, разумеется, не рассматривается).

Функцию принято называть бесконечно малой при , если

Утверждение 2. а) Если — бесконечно малые функции при , то их сумма а также бесконечно малая функция при .

b) Если — бесконечно малые функции при , то их произведение а также бесконечно малая функция при

c) Если — бесконечно малая функция при , финально ограниченная функция при , то произведение есть бесконечно малая функция при .

а) Проверим, что

Пусть задано число По определению предела имеем

Тогда для проколотой окрестности получаем

т. е. проверено, что

Это утверждение есть частный случай утверждения с), поскольку всякая функция, имеющая предел, финально ограничена.

Проверим, что

Пусть задано По определению предела имеем

Тогда для проколотой окрестности получаем

Тем самым проверено, что

Теперь сделаем следующее полезное Замечание.

Иными словами, функция стремится к А тогда и только тогда, когда она может быть представлена в виде суммы где — бесконечно малая при функция (уклонение от

Это непосредственно следует из определения предела, в силу которого

Приведем теперь доказательство теоремы об арифметических свойствах предела функции, основанное на этом замечании и установленных свойствах бесконечно малых функций.

а) Если то где — бесконечно малые при . Тогда где как сумма бесконечно малых, есть бесконечно малая функция при . Таким образом, .

Вновь представив в виде имеем

где по свойствам бесконечно малых есть бесконечно малая функция при .

Таким образом, В.

Вновь запишем, что где

Поскольку существует проколотая окрестность в любой точке которой и потому Тогда в будем иметь также т. е. функция финально ограничена при . Теперь запишем

По свойствам бесконечно малых (с учетом доказанной финальной ограниченности Функция есть бесконечно малая при . Таким образом, доказано, что

с. Предельный переход и неравенства

Теорема 3. а) Если функции таковы, что то найдется проколотая окрестность точки а в множестве Е, в любой точке которой выполнено неравенство

b) Если между функциями на множестве Е имеет место соотношение и если то существует также предел при , причем

а) Возьмем число С такое, что По определению предела найдем проколотые окрестности точки а в множестве так, чтобы при иметь и при иметь Тогда в любой проколотой окрестности содержащейся в получим

Если то по любому фиксированному найдутся такие проколотые окрестности точки а в множестве , что при имеем и при имеем .

Тогда в любой проколотой окрестности содержащейся будем иметь и, следовательно,

Следствие. Пусть Если в некоторой проколотой окрестности точки а:

Рассуждая от противного, из утверждения а) теоремы 3 немедленно получаем утверждения а), b) доказываемого следствия. Утверждения с), d) получаются из первых двух при

Два важных примера. Прежде чем переходить к дальнейшему изложению теории предела функции, продемонстрируем на двух важных примерах использование уже доказанных теорем.

Пример

Здесь мы будем апеллировать к школьному определению как ординаты точки, в которую переходит точка (1,0) при повороте (с центром в начале координат) на угол х (радиан). Полнота такого определения всецело зависит

от того, насколько тщательно установлена связь между поворотами и действительными числами. Поскольку сама система действительных чисел в школе не была описана достаточно подробно, надо считать, что нам необходимо уточнить определение же самое относится и к функции

Рис. 8

В свое время мы это сделаем и обоснуем те рассуждения, которые сейчас будут опираться на наглядность.

Покажем, что

Так как и — четные функции, то достаточно рассмотреть случай . Из рис. 8 и определения , сравнивая площади сектора треугольника и сектора имеем

Разделив эти неравенства на x, получаем то, что и утверждалось.

Из а) следует, что

при любом , причем равенство имеет место только для

При как показано в а), имеем

Но поэтому для также выполнено последнее неравенство. И только при имеем

Из следует, что

Поскольку и поскольку на основании теоремы о связи предела функции с неравенствами получаем, что следовательно,

Теперь докажем, что

Считал, что в силу полученного в а) неравенства имеем

Но значит, по теореме о предельном переходе в неравенствах можем заключить, что

Пример 10. Определение показательной, логарифмической и степенной функций на основе теории предела. Мы продемонстрируем сейчас, чем и как можно было бы дополнить школьное определение показательной и логарифмической функций, если располагать теорией действительного числа и теорией предела.

Для удобства ссылок и полноты картины проделаем всё с самого начала.

а) Показательная функция. Пусть

1° Для полагаем по индукции .

Таким образом, на возникает функция которая, как видно из определения, обладает свойством

если

2° Это свойство приводит к естественным определениям

после которых функция оказывается распространенной на множество целых чисел и для любых

3° В теории действительных чисел мы отметили, что для существует единственный арифметический корень степени из а, т. е. число такое, что Для него принято обозначение Оно удобно, если мы желаем сохранить закон сложения показателей:

По той же причине естественно положить для Если окажется, что для к можно считать, что мы определили для

4° Для чисел по индукции проверяем, что для

поэтому, в частности,

5° Это позволяет доказать правила действий с рациональными показателями, в частности, что

и

Действительно, аткпк Далее, поскольку

и

то первое из проверяемых равенств в соответствии с 4° установлено. Аналогично,

и

поэтому второе равенство также доказано.

Таким образом, мы определили для причем и для любых

6° Из 4° следует, что для

Поскольку для что сразу следует из 4°, то при что опять-таки следует из 4°. Таким образом, при для имеем

Тогда при на основе 5° получаем

7° Покажем, что для

Проверим, что при Это следует из того, что при имеем в силу 6°

Мы знаем, что при Тогда стандартным рассуждением проверяем, что для найдется такое, что при будет

В качестве можно взять если

Теперь докажем основное утверждение.

По подберем 6 так, что при

Если теперь то

или

Итак, на определена функция со свойствами:

Продолжим ее на всю числовую ось следующим образом.

8° Пусть Ясно, что так как при имеем

Покажем, что на самом деле (и тогда эту величину мы обозначим через

По определению при имеем

Тогда Но при поэтому для любого найдется такое, что при

будет Тогда получим, что и, поскольку произвольно, заключаем, что

Положим

9° Покажем, что .

Учитывая 8°, для найдем так, что так, что . Поскольку влечет для всех лежащих в интервале будем тогда иметь

Займемся теперь свойствами построенной функции на М.

На интервале найдутся два рациональных числа Если то по определению данному в 8°, и свойствам функции на имеем

Для любых верно

В силу известных нам оценок абсолютной погрешности произведения и свойства 9° можно утверждать, что для любого найдется число такое, что при будет

Уменьшая, если нужно, 6, можно подобрать так, что при т. е. при будем иметь также

Но для значит, из полученных неравенств вытекает, что

Поскольку произвольно, заключаем, что

12° . (Напомним, что — принятое сокращение для )

Проверим сначала, что По найдем так, что

Тогда в силу 10° при будем иметь

т. е. проверено, что

Если теперь взять чтобы при было то получим

и тем самым проверено, что

13° Покажем, что множеством значений построенной функции является множество всех положительных действительных чисел.

Пусть Если то, как нам известно, найдется число такое, что

В силу этого оба множества

непусты. Но поскольку (при ), то для любых чисел таких, что , имеем Следовательно, к множествам А и В применима аксиома полноты, из которой следует существование числа такого, что для любых элементов . Покажем, что

Если бы было то, поскольку при нашлось бы число такое, что Получилось бы, что , в то время как точка разделяет А и В. Значит, предположение о неверно. Аналогично проверяем, что неравенство тоже невозможно. По свойствам действительных чисел отсюда заключаем, что

Мы пока считали, что Но все построения можно было бы повторить и для При этом условии если поэтому в 6°, а затем окончательно в 10° теперь получим, что при

Итак, при на множестве Е действительных чисел мы построили действительнозначную функцию со следующими свойствами:

5) множеством значений функции является множество всех положительных чисел.

Определение 7. Отображение называется показательной или экспоненциальной функцией при основании а. Особенно часто встречается функция когда которую нередко обозначают через . В связи с этим для обозначения функции также иногда используется символ .

Логарифмическая функция. Поскольку отображение ехра как видно из свойств показательной функции, биективно, оно имеет обратное отображение.

Определение 8. Отображение, обратное к ехра называется логарифмической функцией при основании а и обозначается символом

Определение 9. При основании логарифмическая функция, или логарифм, называется натуральным логарифмом и обозначается .

Причина такой терминологии прояснится при другом, во многом даже более естественном и прозрачном подходе к логарифмам, который мы изложим после построения основ дифференциального и интегрального исчисления.

По определению логарифма как функции, обратной экспоненциальной, имеем

Из этого определения и свойств показательной функции, в частности, получается, что в области своего определения логарифм обладает следующими свойствами:

5) множество значений функции совпадает с множеством всех действительных чисел.

Из свойства 1) показательной функции и определения логарифма получаем 1).

Из свойства 2) показательной функции получаем 2). Действительно, пусть Тогда и по откуда

Аналогично, свойство 4) показательной функции влечет свойство 4) логарифмической.

Очевидно,

Осталось доказать 3).

В силу свойства 2) логарифма

поэтому неравенства

равносильны соотношению

которое по свойству 4) логарифма равносильно

В любом случае мы получаем, что если

или

то

Таким образом, проверено, что

Рис. 9

На рис. 9 изображены графики функций на рис. 10 — графики функций

Остановимся еще на одном свойстве логарифма, которым тоже часто приходится пользоваться.

Рис. 10

Покажем, что для любого и любого справедливо равенство

Равенство справедливо при ибо из свойства 2) логарифма по индукции получаем значит,

3° Из 1° и 2° теперь заключаем, что для равенство справедливо.

при Действительно,

5° Теперь можно проверить, что для любого рационального числа утверждение справедливо. В самом деле,

6° Но если равенство справедливо для любого то, устремляя по к а, на основании свойства 3) показательной и свойства 3)

логарифмической функций получаем, что если достаточно близко то близко к близко к Это означает, что

поэтому

Из доказанного свойства логарифма можно сделать вывод, что для любых имеет место равенство

При считаем, по определению, для а Таким образом, в этом случае равенство тривиально.

Если же то по доказанному

что в силу свойства 4) логарифма доказывает справедливость указанного равенства.

Степенная функция. Если считать то при любом мы определили величину (читается в степени а»).

Определение 10. Функция определенная на множестве положительных чисел, называется степенной функцией, а число а называется показателем степени.

Степенная функция, очевидно, является композицией показательной и логарифмической функций, точнее,

На рис. 11 изображены графики функции при различных значениях показателя степени.

Рис. 11