2. Дифференцирование композиции отображений

а. Основная теорема

Теорема 3. Если отображение множества . Если в множество Если дифференцируемо в точке отображение дифференцируемо в точке , то композиция этих отображений дифференцируема в точке х, причем дифференциал композиции равен композиции дифференциалов

Доказательство этой теоремы почти полностью повторяет доказательство теоремы 2 из § 2 гл. V. Чтобы обратить внимание на одну новую, появляющуюся теперь деталь, мы все же проведем еще раз это доказательство, не вдаваясь, однако, в уже разобранные технические подробности.

Используя дифференцируемость отображений в точках также линейность дифференциала можно написать, что

где есть линейное отображение (как композиция линейных отображений), а

Но, как показывают соотношения (17), (18) из § 1,

и

Следовательно,

и теорема доказана.

Будучи переписана в координатной форме, теорема 3 означает, что если х — внутренняя точка множества X и

— внутренняя точка множества и

то

В равенстве

справа имеется в виду суммирование по индексу в пределах его изменения, т. е. от 1 до

В отличие от равенств (1), (2), (3), соотношение (4) нетривиально даже в смысле поэлементного равенства участвующих в нем матриц.

Рассмотрим некоторые важные частные случаи доказанной теоремы.

b. Дифференциал и частные производные сложной вещественнозначной функции.

Пусть — вещественнозначная функция вещественных переменных каждое из которых в свою очередь есть функция переменных . В предположении дифференцируемости функций найдем частную производную композиции отображений

По формуле (4), в которой при наших условиях находим

или, в более подробной записи,

c. Производная по вектору и градиент функции в точке.

Рассмотрим установившийся поток жидкости или газа в некоторой области пространства Термин «установившийся» означает, что скорость потока в каждой точке области не меняется со временем, хотя в различных точках области она, разумеется, может быть различной. Пусть, например, — давление в потоке в точке Если мы будем перемещаться в потоке по закону где — время, то в момент мы будем регистрировать давление Скорость изменения

давления со временем вдоль нашей траектории, очевидно, есть производная по времени от функции Найдем ее в предположении, что — дифференцируемая в области функция. По закону дифференцирования композиции функций находим

где

Поскольку есть вектор скорости нашего перемещения в момент есть координатная запись дифференциала функции в точке то равенство (6) можно переписать также в виде

т. е. искомая величина есть значение дифференциала функции в точке на векторе скорости нашего движения.

В частности, если при мы были в точке то

где — вектор скорости в момент

Правая часть соотношения (8) зависит только от точки и вектора скорости, которую мы имеем в этой точке, и не зависит от конкретного вида траектории лишь бы было выполнено условие Это означает, что на любой траектории вида

где при , значение левой части равенства (8) будет одинаково, поскольку оно вполне определяется заданием точки и вектора приложенного к этой точке. В частности, если бы мы хотели непосредственно вычислить значение левой (а значит, и правой) части равенства (8), то можно было бы в качестве закона движения выбрать функцию

отвечающую равномерному движению со скоростью при котором в момент мы находимся в точке

Дадим теперь следующее

Определение 1. Если функция определена в окрестности точки — вектор, приложенный к точке то величина

(если указанный предел существует) называется производной функции в точке по вектору

Из проведенных рассмотрений следует, что если функция дифференцируема в точке то при любой функции вида (9) и, в частности, вида (10) имеет место равенство

что в координатном представлении означает

В частности, для базисных векторов из этой формулы получаем

На основании равенства (12) в силу линейности дифференциала заключаем, что если — дифференцируемая в точке функция, то для любых векторов и любых функция имеет в точке производную по вектору и при этом

Если пространство рассматривать как евклидово пространство, т. е. как векторное пространство со скалярным произведением, то (см. § 1) любую линейную функцию можно будет записать в виде скалярного произведения фиксированного вектора и переменного вектора

В частности, найдется, вектор такой, что

Определение 2. Вектор отвечающий в смысле равенства (15) дифференциалу функции в точке называется градиентом функции в этой точке и обозначается символом

Итак, по определению

Если в выбрана декартова система координат, то, сопоставляя соотношения (12), (13) и (16), заключаем, что в такой системе координат градиент имеет следующее координатное представление:

Выясним теперь геометрический смысл вектора единичный вектор. Тогда в силу (16)

где — угол между векторами

Таким образом, если то производная принимает наибольшее значение. То есть скорость роста функции (выраженная в единицах величины отнесенных к единице длины в при движении из точки максимальна и равна когда мы смещаемся именно в направлении вектора При смещении в противоположном направлении значения функции наиболее резко уменьшаются, а при смещении в направлении, перпендикулярном вектору скорость изменения значений функции равна нулю.

Производную по единичному вектору данного направления обычно называют производной по данному направлению.

Поскольку единичный вектор в евклидовом пространстве задается направляющими косинусами:

где — угол, который вектор образует с базисным вектором декартовой системы координат, то

Вектор встречается очень часто и имеет многочисленные применения. Например, на отмеченном выше геометрическом свойстве градиента основаны так называемые градиентные методы численного (на поиска экстремумов функций многих переменных. (См. в этой связи задачу 2 в конце параграфа.)

Многие важные векторные поля, как, например, ньютоновское поле сил тяготения или кулоновское поле заряда, являются градиентами некоторых скалярных функций — потенциалов этих полей (см. задачу 3).

Многие физические законы в самой своей формулировке используют вектор Например, в механике сплошной среды эквивалентом основного закона Ньютона динамики точки является соотношение

связывающее ускорение в потоке свободной от внешних сил идеальной жидкости или газа в точке х в момент с плотностью среды и градиентом давления отнесенными к этой же точке и к этому же моменту времени (см. задачу 4).

О векторе мы еще будем говорить позже, при изучении векторного анализа и элементов теории поля.