2. Дифференцирование композиции функций

Теорема (теорема о дифференциале композиции функций). Если функция дифференцируема в точке функция дифференцируема в точке то композиция функций дифференцируема в тдчке х, причем дифференциал композиции равен композиции дифференциалов

Условия дифференцируемости функций имеют вид

Заметим, что в последнем равенстве функцию можно считать определенной и при в представлении где при , можно считать Полагая в силу дифференцируемости, а значит, и непрерывности функции в точке х заключаем, что при также и если то . По теореме о пределе композиции теперь имеем

и, таким образом, если то

Далее,

Поскольку величину очевидно, можно интерпретировать как значение композиции отображении на смещении то для завершения доказательства теоремы остается заметить, что сумма

есть величина бесконечно малая в сравнении с при ибо, как мы уже установили,

Итак, показано, что

Следствие 4. Производная композиции дифференцируемых вещественнозначных функций равна произведению производных этих функций, вычисленных в соответствующих точках.

Большим искушением к короткому доказательству последнего утверждения являются содержательные обозначения Лейбница для производной, в которых, если имеем

что представляется вполне естественным, если символ — или рассматривать не как единый, а как отношение или, соответственно,

Возникающая в связи с этим идея доказательства состоит в том, чтобы рассмотреть разностное отношение

и затем перейти к пределу при Трудность, которая тут появляется (и с которой нам тоже отчасти пришлось считаться!), состоит в том, что может быть нулем, даже если

Следствие 5. Если имеется композиция дифференцируемых функций то

При утверждение очевидно.

Если оно справедливо для некоторого то из теоремы 2 следует, что оно справедливо также для т. е. по принципу индукции установлено, что оно справедливо для любого

Пример 5. Покажем, что при в области имеем

Запишем и применим доказанную теорему с учетом результатов примеров пункта теоремы 1.

Пусть Тогда и

Пример 6. Производная от логарифма модуля дифференцируемой функции часто называется логарифмической производной.

Поскольку то в силу результата примера

Таким образом,

Пример 7. Абсолютная и относительная погрешности значения дифференцируемой функции, вызванные погрешностями в задании аргумента.

Если функция дифференцируема в точке то

где

Таким образом, если при вычислении значения функции аргумент х определен с абсолютной погрешностью , то вызванная этой погрешностью абсолютная погрешность в значении функции при достаточно малых может быть заменена модулем значения дифференциала на смещении

Тогда относительная погрешность может быть вычислена как отношение или как модуль произведения логарифмическои производной функции на величину абсолютной погрешности аргумента.

Заметим, кстати, что если то и абсолютная погрешность в определении значения логарифма равна относительной погрешности в определении аргумента. Это обстоятельство прекрасно используется, например, в логарифмической линейке (и многих других приборах с неравномерным масштабом шкал). А именно, представим себе, что с каждой точкой числовой оси, лежащей правее нуля, мы связали ее координату у и записали ее над точкой, а под этой точкой записали число Тогда Одна и та же числовая полуось оказалась наделенной одной равномерной шкалой у и одной неравномерной (ее называют логарифмической) шкалой Чтобы найти надо установить визир на числе и прочитать наверху соответствующее число у. Поскольку точность установки визира на какую-то точку не зависит от числа или у, ей отвечающего, и измеряется некоторой величиной (длиной отрезка возможного уклонения) в равномерной шкале, то при определении по числу его логарифма у мы будем иметь примерно одну и ту же абсолютную погрешность, а при определении числа по его логарифму будем иметь примерно одинаковую относительную погрешность во всех частях шкалы.

Пример 8. Продифференцируем функцию где дифференцируемые функции и Запишем и воспользуемся следствием 5. Тогда