4. Формула Тейлора

Теорема 4. Если функция определена и принадлежит классу в окрестности точки отрезок полностью содержится в то имеет место равенство

Равенство (7) совместно с соотношением (8) называется формулой Тейлора с интегральной формой остаточного члена.

4 Формула Тейлора (7) немедленно следует из соответствующей формулы Тейлора для функции одной переменной. В самом деле, рассмотрим вспомогательную функцию

которая в силу условий теоремы 4 определена на отрезке и (как мы проверили выше) принадлежит классу

Тогда при в силу формулы Тейлора для функций одной переменной можно записать, что

Полагал здесь получаем

Подставляя в полученное равенство, в соответствии с формулой (6), значения

получаем то, что и утверждает теорема 4.

Замечание. Если вместо интегральной формы остаточного члена в соотношении (9) написать остаточный член в форме Лагранжа, то из равенства

где получается формула Тейлора (7) с остаточным членом

Эту форму остаточного члена, так же как и в случае функций одной переменной, называют формой Лагранжа остаточного члена формулы Тейлора. Доль скоро то из (10) следует, что

поэтому имеет место равенство

называемое формулой Тейлора с остаточным членом в форме Пеано.