4. Объем тела вращения.
Пусть теперь изображенная на рис. 48 криволинейная трапеция вращается вокруг отрезка 
Определим объем получающегося при этом тела.
Обозначим через 
объем тела, полученного вращением криволинейной трапеции 
(см. рис. 48), отвечающей отрезку 
По нашим представлениям об объеме, должны быть справедливы следующие соотношения: если 
то
и
В последнем соотношении мы оценили объем 
через объемы вписанного и описанного цилиндров и воспользовались формулой объема цилиндра (которую нетрудно получить, если уже найдена площадь круга).
Тогда в силу утверждения
Пример 6. Вращением вокруг оси абсцисс полукруга, ограниченного отрезком 
этой оси и дугой окружности 
можно получить трехмерный шар радиуса 
объем которого легко вычислить по формуле (10):
Подробнее об измерении длин, площадей и объемов будет сказано во II части курса. Тогда же мы решим и вопрос об инвариантности данных определений.
