§ 4. Некоторые дополнения

1. Мощность множества (кардинальные числа).

Говорят, что множество X равномощно множеству У, если существует биективное отображение X на У, т. е. каждому элементу х сопоставляется элемент , причем различным элементам множества X отвечают различные элементы множества У и каждый элемент сопоставлен некоторому элементу множества X.

Описательно говоря, каждый элемент сидит на своем месте , все элементы X сидят и свободных мест нет.

Ясно, что введенное отношение является отношением эквивалентности, поэтому мы будем, как и договаривались, писать в этом случае вместо

Отношение равномощности разбивает совокупность всех множеств классы эквивалентных между собой множеств. Множества одного класса эквивалентности имеют одинаковое количество элементов (равномощны), а разных — разное.

Класс, которому принадлежит множество X, называется мощностью множества X, а также кардиналом или кардинальным числом множества X и обозначается символом Если то пишут

Смысл этой конструкции в том, что она позволяет сравнивать количества элементов множеств, не прибегая к промежуточному счету, т. е. к измерению количества путем сравнения с натуральным рядом чисел Последнее, как мы вскоре увидим, иногда принципиально невозможно.

Говорят, что кардинальное число множества X не больше кардинального числа множества У, и пишут если X равномощно некоторому подмножеству множества У.

Итак,

Если , то ясно, что Однако, оказывается, соотношение не мешает неравенству даже если X есть собственное подмножество У.

Например, соответствие есть биективное отображение промежутка — числовой оси Е на всю эту ось.

Возможность для множества быть равномощным своей части является характерным признаком бесконечных множеств, который Дедекинд даже предложил считать определением бесконечного множества. Таким образом, множество называется конечным (по Дедекинду), если оно не равномощно

никакому своему собственному подмножеству; в противном случае оно называется бесконечным.

Подобно тому, как отношение неравенства упорядочивает действительные числа на числовой прямой, введенное отношение неравенства упорядочивает мощности или кардинальные числа множеств. А именно, можно доказать, что справедливы следующие свойства построенного отношения:

(очевидно).

(теорема Шрёдера-Бернштейна).

(теорема Кантора).

Таким образом, класс кардинальных чисел оказывается линейно упорядоченным.

Говорят, что мощность множества X меньше мощности множества У, и пишут если и в то же время Итак,

Пусть, как и прежде, — знак пустого множества, — символ множества всех подмножеств множества X. Имеет место следующая открытая Кантором

Теорема.

Для пустого множества 0 утверждение очевидно, поэтому в дальнейшем можно считать, что

Поскольку содержит все одноэлементные подмножества

Для доказательства теоремы теперь достаточно установить, что если

Пусть, вопреки утверждению, существует биективное отображение Рассмотрим множество тех элементов , которые не содержатся в сопоставленном им множестве Поскольку то найдется элемент такой, что Для элемента невозможно ни соотношение а (по определению А), ни соотношение (опять-таки по определению А). Мы вступаем в противоречие с законом исключенного третьего.

Эта теорема, в частности, показывает, что если бесконечные множества существуют, то и «бесконечности» бывают разные.