Задачи и упражнения
1. Покажите, что
если I — произвольная система вложенных отрезков, то 
если I — система вложенных интервалов 
то пересечение 
может оказаться пустым. 
Указание: 
2. Покажите, что
а) из системы отрезков, покрывающей отрезок, не всегда можно выделить конечную подсистему, покрывающую этот отрезок;
из системы интервалов, покрывающей интервал, не всегда можно выделить конечную подсистему, покрывающую этот интервал;
из системы отрезков, покрывающей интервал, не всегда можно выделить конечную подсистему, покрывающую этот интервал.
3. Покажите, что если вместо полного множества 
всех вещественных чисел взять только множество 
рациональных чисел, а под отрезком, интервалом и окрестностью точки 
понимать соответствующие подмножества 
то ни одна из доказанных выше трех основных лемм не останется в силе.
4. Покажите, что если в качестве аксиомы полноты множества действительных чисел взять
a) принцип Больцано — Вейерштрасса
или
b) принцип Бореля — Лебега,
то получится равносильная прежней система аксиом 
Указание. Из а) следует принцип Архимеда и аксиома полноты в прежней форме.
c) Замена аксиомы полноты принципом Коши—Кантора приводит к системе аксиом, которая становится равносильной исходной, если кроме принципа Коши — Кантора постулировать также принцип Архимеда (см. задачу 21 предыдущего параграфа).
