§ 7. Первообразная

В дифференциальном исчислении, как мы убедились на примерах предыдущего параграфа, наряду с умением дифференцировать функции и записывать соотношения между их производными весьма ценным является умение находить функции по соотношениям, которым удовлетворяют их производные. Простейшей, но, как будет видно из дальнейшего, весьма важной задачей такого типа является вопрос об отыскании функции по известной ее производной Начальному обсуждению этого вопроса и посвящен настоящий параграф.

1. Первообразная и неопределенный интеграл

Определение 1. Функция называется первообразной функцией или первообразной по отношению к функции на некотором промежутке, если на этом промежутке функция дифференцируема и удовлетворяет уравнению или, что то же самое, соотношению

Пример 1. Функция является первообразной для на числовой прямой, поскольку

Пример 2. Функция - является первообразной для функции как на промежутке всех положительных чисел, так и на полуоси отрицательных чисел, ибо при

Как обстоит дело с существованием первообразной и каково множество первообразных данной функции?

В интегральном исчислении будет доказан фундаментальный факт о том, что любая непрерывная на промежутке функция имеет на этом промежутке первообразную.

Мы приводим этот факт для информации читателя, а в этом параграфе используется, по существу, лишь следующая, уже известная нам (см. гл. V, § 3, п. 1) характеристика множества первообразных данной функции на числовом промежутке, полученная из теоремы Лагранжа.

Утверждение 1. Если — две первообразные функции на одном и том же промежутке, то их разность постоянна на этом промежутке.

Условие, что сравнение ведется на связном промежутке, как отмечалось при доказательстве этого утверждения, весьма существенно. Это можно заметить также из сопоставления примеров 1 и 2, в которых производные функций — совпадают в области их совместного определения. Однако

если в то время как при ибо при имеем

Как и операция взятия дифференциала, имеющая свое название «дифференцирование» и свой математический символ операция перехода к первообразной имеет свое название «неопределенное интегрирование» и свой математический символ

называемый неопределенным интегралом от функции на заданном промежутке.

Таким образом, символ (1) мы будем понимать как обозначение любой из первообразных функции на рассматриваемом промежутке.

В символе (1) знак называется знаком неопределенного интеграла, — подынтегральная функция, — подынтегральное выражение.

Из утверждения 1 следует, что если — какая-то конкретная первообразная функции на промежутке, то на этом промежутке

т. е. любая другая первообразная может быть получена из конкретной добавлением некоторой постоянной.

Если первообразная для на некотором промежутке, то из (2) имеем

Кроме того, в соответствии с понятием неопределенного интеграла как любой из первообразных, из (2) следует также, что

Формулы (3) и (4) устанавливают взаимность операций дифференцирования и неопределенного интегрирования. Эти операции взаимно обратны с точностью до появляющейся в формуле (4) неопределенной постоянной С.

До сих пор мы обсуждали лишь математическую природу постоянной С в формуле (2). Укажем теперь ее физический смысл на простейшем примере. Пусть точка движется по прямой так, что ее скорость известна как функция времени (например, Если — координата точки в момент , то функция удовлетворяет уравнению т. е. является первообразной для Можно ли по скорости в каком-то интервале времени восстановить положение точки на оси? Ясно, что нет. По скорости и промежутку времени можно определить величину пройденного за это время пути в, но не положение на оси. Однако это положение также будет полностью определено, если указать его хотя бы в какой-то момент, например при т. е. задать начальное условие До задания начального условия закон движения мог быть любым среди законов вида с, где — любая конкретная первообразная функции , с — произвольная постоянная. Но после задания начального условия вся неопределенность исчезает, ибо мы должны иметь Последняя формула вполне физична, поскольку произвольная первообразная х участвует в формуле только в виде разности, определяя пройденный путь или величину смещения от известной начальной метки