§ 6. Некоторые примеры использования дифференциального исчисления в задачах естествознания

В этом параграфе мы разберем несколько довольно далеких друг от друга по постановке задач естествознания, которые, однако, как выяснится, имеют довольно близкие математические модели. Модель эта — не что иное, как простейшее дифференциальное уравнение для интересующей нас в задаче функции. С разбора одного такого примера — задачи двух тел — мы, кстати, вообще начинали построение дифференциального исчисления. Исследование той системы уравнений, которую мы при этом получили, пока нам недоступно. Здесь же будут рассмотрены вопросы, которые можно до конца решить уже на нашем нынешнем уровне. Кроме удовольствия увидеть математический аппарат в конкретной работе, из ряда примеров этого параграфа мы, в частности, извлечем также дополнительную убежденность как в естественности возникновения показательной функции так и в пользе ее распространения в комплексную область.

1. Движение тела переменной массы.

Рассмотрим ракету, перемещающуюся прямолинейно в открытом космосе далеко от притягивающих масс (рис. 45).

Рис. 45

Пусть — масса ракеты (с топливом) в момент t; — ее скорость в момент и — скорость (относительно ракеты) истечения топлива из сопла ракеты при его сгорании.

Мы хотим установить взаимосвязь между этими величинами.

В силу сделанных предположений, ракету с топливом можно рассматривать как замкнутую систему, импульс (или количество движения) которой поэтому остается постоянным во времени.

В момент импульс системы равен

В момент импульс ракеты с оставшимся в ней топливом равен импульс выброшенной за это время массы топлива заключен в пределах

причем из непрерывности следует, что при .

Приравнивая импульсы системы в моменты , имеем

или, после подстановки и упрощений,

Деля последнее равенство на и переходя к пределу при получаем

Это и есть искомое соотношение между интересующими нас функциями и их производными.

Теперь надо найти связь между самими функциями исходя из соотношения между их производными. Вообще говоря, такого рода задачи много труднее задач нахождения соотношений между производными при известных соотношениях между функциями. Однако в нашем случае вопрос решается вполне элементарно.

Действительно, после деления на равенство (1) можно переписать в виде

Но если производные двух функций совпадают на некотором промежутке, то на этом промежутке сами функции отличаются разве что на некоторую постоянную.

Итак, из (2) следует, что

Если известно, например, что то это начальное условие вполне определит константу с. Действительно, из (3) находим

а затем находим искомую формулу

Полезно заметить, что если тк — масса корпуса ракеты, — масса топлива, конечная скорость, которую приобретает ракета после полной отработки топлива, то, подставляя в — так, находим

Последняя формула особенно ясно показывает, что на конечной скорости сказывается не столько отношение стоящее под знаком логарифма, сколько скорость истечения си, связанная с видом топлива. Из этой формулы, в частности, следует, что если то, чтобы придать скорость V ракете, собственная масса которой гак, необходимо иметь следующий начальный запас топлива: