6. Производные высших порядков.

Если функция дифференцируема в любой точке , то на множестве Е возникает новая функция значение которой в точке равно производной функции в этой точке.

Функция . сама может иметь производную на Е, которая по отношению к исходной функции называется второй производной от и обозначается одним из символов

а если хотят явно указать переменную дифференцирования, то в первом случае еще, например, пишут

Определение. По индукции, если определена производная порядка от то производная порядка определяется формулой

Для производной порядка приняты обозначения Условились считать, что

Множество всех функций имеющих на непрерывные производные до порядка включительно, будем обозначать символом , а когда это не ведет к недоразумению — более простыми символами или соответственно.

В частности, в силу принятого соглашения, что

Рассмотрим несколько примеров вычисления производных высших порядков.

Примеры.

Пример 24. Формула Лейбница. Пусть — функции, имеющие на общем множестве Е производные до порядка включительно. Тогда для производной от их произведения справедлива следующая формула Лейбница:

Формула Лейбница очень похожа на формулу бинома Ньютона и на самом деле с нею непосредственно связана.

При формула (19) совпадает с уже установленным правилом дифференцирования произведения.

Если функции и, имеют производные до порядка включительно, то, в предположении справедливости формулы (19) для порядка после дифференцирования ее левой и правой частей получаем

Мы объединили слагаемые, содержащие одинаковые произведения производных от функций и, и воспользовались тем, что

Таким образом, по индукции установлена справедливость формулы Лейбница.

Пример 25. Если то

Таким образом, полином можно записать в виде

Пример 26. Используя формулу Лейбница и то обстоятельство, что производные от полинома, имеющие порядок выше его степени, тождественно равны нулю, можно найти производную функции

Пример 27. Пусть . Найдем значения Поскольку то

Применяя формулу Лейбница к последнему равенству, находим рекуррентную формулу

из которой можно последовательно найти все производные функции Полагая получаем

При имеем поэтому вообще Для производных нечетного порядка имеем

и, поскольку получаем

Пример 28. Ускорение. Если — зависимость от времени координаты движущейся вдоль числовой оси материальной точки, то есть скорость точки, а тогда есть ее ускорение в момент

Если то т. е. ускорение в равномерном движении равно нулю. Вскоре мы проверим, что если вторая производная функции равна нулю, то сама функция имеет вид Таким образом, в равномерных движениях и только в них ускорение равно нулю.

Но в том случае, если мы желаем, чтобы наблюдаемое из двух систем координат движущееся по инерции в пустом пространстве тело в обеих системах двигалось равномерно и прямолинейно, нужно, чтобы формулы перехода из одной инерциальной системы в другую были линейными. Именно по этой причине в примере 15 были выбраны линейные формулы (5) преобразования координат.

Пример 29. Вторая производная простейшей неявно заданной функции. Пусть — дважды дифференцируемые функции. Предположим, что функция имеет дифференцируемую обратную функцию тогда величину можно считать зависящей неявно от х, ибо Найдем вторую производную в предположении, что

По правилу дифференцирования такой функции, рассмотренному в пункте 5, имеем

поэтому

Заметим, что явные выражения всех участвующих здесь функций, в том числе и зависят от , но они дают возможность получить значение в конкретной точке х после подстановки вместо значения отвечающего заданному значению х.

Например, если то

Мы специально взяли простой пример, в котором можно явно выразить через и, подставив найти явную зависимость

от х. Дифференцируя последнюю функцию, можно проверить правильность полученных выше результатов.

Ясно, что так можно искать производные любого порядка, последовательно применяя формулу

Задачи и упражнения

(см. скан)

(см. скан)