3. Замечания о структуре математических высказываний и записи их на языке теории множеств.

В языке теории множеств имеются два базисных или, как говорят, атомарных типа математических высказываний: утверждение х о том, что объект х есть элемент множества и утверждение о том, что множества А и В совпадают. (Впрочем, с учетом аксиомы объемности второе утверждение является комбинацией утверждений первого типа:

Сложное высказывание или сложная логическая формула строятся из атомарных посредством логических операторов — связок и кванторов с использованием скобок При этом формирование сколь угодно сложного высказывания и его записи сводится к выполнению следующих элементарных логических операций:

Образование нового высказывания путем постановки отрицания перед некоторым высказыванием и заключение результата в скобки.

Образование нового высказывания путем постановки необходимой связки между двумя высказываниями и заключение результата в скобки.

Образование высказывания «для любого объекта х выполнено свойство Р» (что записывают в виде или высказывания «найдется объект х, обладающий свойством Р» (что записывают в виде

Например, громоздкая запись

означает, что найдется объект х, обладающий свойством Р и такой, что если у — любой объект, обладающий свойством Р, то Короче: существует и притом единственный объект х, обладающий свойством Р. Обычно это высказывание обозначают в виде и мы будем использовать такое сокращение.

Для упрощения записи высказывания, как уже отмечалось, стараются опустить столько скобок, сколько это возможно без потери однозначного толкования записи. С этой целью кроме указанного ранее приоритета операторов считают, что наиболее жестко символы в формуле связываются знаками затем и потом связками

С учетом такого соглашения теперь можно было бы написать

Условимся также о следующих широко используемых сокращениях:

Здесь Е, как всегда, есть символ множества действительных чисел.

С учетом этих сокращений и правил а), b), с) построения сложного высказывания, например, можно будет дать однозначно трактуемую запись

того, что число А является пределом функции в точке .

Быть может, наиболее важным из всего сказанного в этом параграфе являются для нас следующие правила построения отрицания к высказыванию, содержащему кванторы.

Отрицание к высказыванию «для некоторого х истинно означает, что «для любого х неверно отрицание к высказыванию «для любого х истинно означает, что «найдется х, что неверно

Итак,

Напомним также (см. упражнения к § 1), что

На основании сказанного можно заключить, что, например,

Написать в правой части последнего соотношения было бы, конечно, ошибочно.

В самом деле,

Если учесть указанную выше структуру произвольного высказывания, то теперь с использованием построенных отрицаний простейших высказываний можно было бы построить отрицание любого конкретного высказывания. Например,

Практическая важность правильного построения отрицания связана, в частности, с методом доказательства от противного, когда истинность некоторого утверждения Р извлекают из того, что утверждение ложно.