5. Лемма Морса.

К рассматриваемому кругу идей принадлежит также красивая сама по себе и важная в приложениях лемма Морса о локальном приведении гладкой вещественнозначной функции к каноническому виду в окрестности невырожденной критической точки.

Определение 4. Пусть — критическая точка функции определенной в окрестности этой точки.

Критическая точка называется невырожденной критической точкой функции если гессиан функции в этой точке (т. е. матрица составленная из частных производных второго порядка) имеет отличный от нуля определитель.

Если — критическая точка функции, т. е. то по формуле Тейлора

Лемма Морса утверждает, что локально можно сделать такую замену координат, что в координатах у функция будет иметь вид

Если бы в правой части равенства (18) отсутствовал остаточный член т. е. разность была бы просто квадратичной формой, то, как известно из алгебры, линейным преобразованием ее можно было бы привести к указанному каноническому виду. Таким образом, утверждение, которое мы собираемся доказать, есть локальный вариант теоремы о приведении квадратичной формы к каноническому виду. Доказательство его будет использовать идею доказательства этой алгебраической теоремы. Мы будем опираться также на теорему об обратной функции и следующее предложение.

Лемма Адамара. Пусть — функция класса определенная в выпуклой окрестности точки и такая, что Тогда существуют функции такие, что в имеет место равенство

причем

Равенство (19) — это, в сущности, иная полезная запись уже известной нам формулы Тейлора с интегральным видом остаточного члена. Оно вытекает из равенств

если положить

что очевидно, а то, что тоже нетрудно проверить. Но мы не будем сейчас заниматься этой проверкой, поскольку в свое время будет доказано общее правило дифференцирования интеграла, зависящего от параметра, из которого нужное нам свойство функций будет непосредственно вытекать.

Таким образом, с точностью до указанной проверки, формула Адамара (19) установлена.

Лемма Морса. Если функция класса определенная на открытом множестве Если — невырожденная критическая точка этой функции, то найдется такой диффеоморфизм некоторой окрестности начала координат 0 пространства на окрестность точки что для всех точек

Линейными заменами вопрос сводится к случаю, когда что мы в дальнейшем и будем считать выполненным.

Поскольку — критическая точка функции то в формуле Тогда по той же лемме Адамара

где — гладкие функции в окрестности точки 0, и, следовательно,

Подставляя здесь, если нужно, вместо функции можем считать, что Заметим также, что, в силу единственности тейлоровского разложения, из непрерывности функций следует, что и, значит матрица невырожденная.

Теперь функция записана подобно квадратичной форме и мы хотим, так сказать, привести ее к диагональному виду.

Как и в классическом случае, будем действовать по индукции. Предположим, что существуют координаты в окрестности точки т. е. диффеоморфизм такой, что в координатах

где

Заметим, что при соотношение (21) имеет место, что видно из формулы (20), где

По условию леммы, квадратичная форма невырожденная, Замена переменных осуществляется диффеоморфизмом, поэтому Матрица формы получается из матрицы домножением справа на матрицу и слева на транспонированную по отношению к матрицу,

поэтому она тоже невырожденная. Следовательно, по крайней мере одно из чисел отлично от нуля. Линейной заменой переменных форму можно привести к диагональному виду, поэтому можно считать, что в равенстве Ввиду непрерывности функций неравенство будет выполнено также в некоторой окрестности точки

Положим Тогда функция принадлежит классу в некоторой окрестности точки Сделаем теперь переход к координатам по формулам

Якобиан преобразования (22) в точке очевидно, равен т. е. отличен от нуля. Тогда в силу теоремы об обратной функции можно утверждать, что в некоторой окрестности точки отображение заданное соотношениями (22), является диффеоморфизмом класса и потому переменные действительно могут служить координатами точек

Выделим в правой части равенства (21) все члены

содержащие В записи (23) суммы этих членов мы использовали то, что

Сравнивая (22) и (23), видим, что выражение (23) можно переписать в виде

Знак перед появляется в связи с тем, что причем берется знак плюс, если и знак минус, если

Таким образом, после замены выражение (21) преобразуется в равенство

где — некоторые новые гладкие функции, симметричные по индексам Отображение является диффеоморфизмом. Таким образом, завершен индуктивный переход от и лемма Морса доказана.

Задачи и упражнения

(см. скан)

(см. скан)