§ 2. Предел функции

1. Определения и примеры.

Пусть Е — некоторое подмножество множества Е действительных чисел и а — предельная точка множества Е. Пусть — вещественнозначная функция, определенная на Е.

Мы хотим записать, что значит, что при приближении точки к а значения функции приближаются к некоторому числу А, которое естественно назвать пределом значений функции или пределом функции при х, стремящемся к а.

Определение 1. Будем (следуя Коши) говорить, что функция стремится к А при х, стремящемся к а, или что А является пределом функции при х, стремящемся к а, если для любого числа существует число такое, что для любой точки такой, что выполнено соотношение

В логической символике сформулированные условия запишутся в виде

Если А — предел функции при стремящемся по множеству Е к точке а, то пишут при , или Вместо символа , мы, как правило, будем использовать более короткое обозначение и вместо будем писать

Пример 1. Пусть . Проверим, что

Действительно, при заданном возьмем тогда при учитывая, что будем иметь

Из этого примера, кстати, видно, что функция может иметь предел при , даже не будучи определенной в самой точке а. Как раз эта ситуация чаще всего имеет место при вычислении пределов и, если вы обратили внимание, это обстоятельство учтено в определении предела в виде неравенства

Напомним, что окрестностью точки мы назвали любой интервал, содержащий эту точку.

Определение 2. Проколотой окрестностью точки называется окрестность точки, из которой исключена сама эта точка.

Если — обозначение окрестности точки а, то проколотую окрестность этой точки будем обозначать символом .

Множества

будем называть соответственно окрестностью и проколотой окрестностью точки а в множестве Е.

Если а — предельная точка Е, то какова бы ни была окрестность .

Если на минуту принять громоздкие символы для обозначения проколотой -окрестности точки а в множестве Е и -окрестности точки А в то приведенное выше так называемое -определение» Коши предела функции можно переписать в виде

Эта запись говорит, что А является пределом функции при , стремящемся к а по множеству Е, если для любой -окрестности точки А найдется проколотая (-окрестность точки а в множестве Е, образ которой при отображении полностью содержится в окрестности

Учитывая, что в любой окрестности точки числовой оси содержится также некоторая симметричная окрестность (-окрестность) этой же точки, мы теперь приходим к следующей форме записи определения предела, которую и будем считать основной.

Определение 3.

Итак, число А называется пределом функции при стремящемся по множеству Е к точке а (предельной для если для любой окрестности точки А найдется проколотая окрестность точки а в множестве Е, образ которой при отображении содержится в заданной окрестности точки А.

Мы привели несколько формулировок определения предела функции. Для числовых функций, когда а, как мы видели, эти формулировки эквивалентны. Вместе с тем для разных целей бывает удобна то одна, то другая из них. Например, при численных оценках удобна исходная форма, указывающая допустимую величину отклонения х от а, при которой уклонение от А не превысит заданной величины. А вот с точки зрения распространения понятия предела на более общие функции, определенные не на числовом множестве, наиболее удобной является последняя формулировка, которую мы и выделили. Из нее, кстати, видно, что мы сможем определить понятие предела

отображения если нам будет сказано, что такое окрестность точки в или, как говорят, если в X и будет задана топология.

Рассмотрим еще некоторые, поясняющие основное определение примеры.

Пример 2. Функция

(читается «сигнум х») определена на всей числовой оси. Покажем, что у нее нет предела при я, стремящемся к 0.

Это значит, что

т. е., какое бы А (претендующее на то, чтобы быть пределом при мы ни взяли, найдется такая окрестность точки А, что, какую бы проколотую окрестность точки 0 ни взять, в ней есть по крайней мере одна точка значение функции в которой не лежит в

Поскольку функция принимает только значения —1, 0, 1, то ясно, что никакое число А, отличное от них, не может быть пределом функции, ибо оно имеет окрестность не содержащую ни одно из этих трех чисел.

Если же то возьмем в качестве -окрестность точки А при . В такую окрестность заведомо не могут попасть одновременно обе точки —1 и 1. Но, какую бы проколотую окрестность точки 0 ни взять, в ней есть как положительные, так и отрицательные числа, т. е. есть и точки х, где и точки, где

Значит, найдется точка такая, что

Условимся, если функция определена во всей проколотой окрестности некоторой точки а , т. е. когда вместо записи употреблять более короткую запись .

Пример 3. Покажем, что

Действительно, при имеем т. е. функция постоянна и равна 1 в любой проколотой окрестности точки 0. Значит, для любой окрестности получим

Обратите внимание, что хотя в данном случае функция и определена в самой точке 0 и но это значение не имеет никакого влияния на величину рассматриваемого предела.

Таким образом, не следует смешивать значение функции в точке а с пределом функции при х, стремящемся к а.

Пусть множества отрицательных и положительных чисел соответственно.

Пример 4. В примере 2 мы видели, что предел не существует. Замечая, однако, что ограничение функции на есть постоянная функция, равная есть постоянная, равная 1, можно, как и в примере 3, показать, что

т. e. ограничение одной и той же функции на различные множества может иметь различные пределы в одной и той же точке или даже не иметь его, как это было в примере 2.

Пример 5. Развивая идею примера 2, можно аналогично показать, что функция — не имеет предела при .

Действительно, в любой проколотой окрестности точки 0 всегда есть точки вида где в которых функция принимает значения —1 и 1 соответственно. Но оба эти числа не могут одновременно содержаться в -окрестности точки , если Значит, ни одно число не может быть пределом этой функции при

Пример Если

и

то, подобно рассмотренному в примере 4, получаем, что

Между изученным в предыдущем параграфе понятием предела последовательности и введенным здесь понятием предела произвольной числовой функции имеется тесная связь, которую выражает следующее

Утверждение I. Соотношение имеет место тогда и только тогда, когда для любой последовательности точек сходящейся к а, последовательность сходится к А.

То, что сразу следует из определений. Действительно, если то для любой окрестности точки А найдется проколотая окрестность точки а в Е такая, что для имеем Если последовательность точек множества сходится к а, то найдется номер такой, что при будет и, значит, На основании определения предела последовательности, таким образом, заключаем, что

Перейдем к доказательству обратного утверждения. Если А не является пределом при , то найдется окрестность такая, что при любом в -окрестности точки а найдется точка такая, что Но это означает, что последовательность не сходится к А, хотя последовательность стремится к а.