4. Вопросы существования предела функции

<< Предыдущий параграф

Следующий параграф >>

<< Предыдущий параграф

Следующий параграф >>

Пред.

След.

Вернуться к книге

Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

4. Вопросы существования предела функции

а. Критерий Коши.

Прежде чем формулировать критерий Коши, дадим следующее полезное

Определение 16. Колебанием функции на множестве называется величина

т. е. верхняя грань модуля разности значений функции на всевозможных парах точек .

Примеры.

Теорема 4 (критерий Коши существования предела функции). Пусть X — множество и В — база в X.

Функция имеет предел по базе В в том и только в том случае, когда для любого числа найдется элемент базы, на котором колебание функции меньше е.

Итак,

Необходимость. Если то для любого найдется элемент В базы В, в любой точке х которого Но тогда для любых из В

и, значит,

Достаточность. Докажем теперь основную часть критерия, утверждающую, что если для любого найдется элемент В базы В, на котором то функция имеет предел по базе В.

Придавая последовательно значения получим последовательность элементов базы таких, что Поскольку в каждом можно взять по точке Последовательность фундаментальная. Действительно, и, взяв вспомогательную точку получим, что . По доказанному для последовательностей критерию Коши, последовательность имеет некоторый предел А. Из установленного выше неравенства при следует, что отсюда, учитывая, что заключаем теперь, что если , то в любой точке будет

Замечание. Проведенное доказательство, как мы увидим позже, остается в силе для функций со значениями в любом так называемом полном пространстве Если же этот случай нас сейчас в первую очередь и интересует, то при желании можно пользоваться той же идеей, что и в доказательстве достаточности критерия Коши для последовательностей.

Полагая и замечая, что для любых элементов базы В выполнено по аксиоме полноты найдем число , разделяющее числовые множества и

где . Поскольку , то теперь можно заключить, что как только так в любой точке .

Пример 17. Покажем, что в случае, когда и В есть база доказанный общий критерий Коши существования предела функции совпадает с рассмотренным ранее критерием Коши существования предела последовательности.

Действительно, элементом базы является множество тех натуральных чисел которые больше некоторого числа Без ограничения общности можно считать, что Соотношение в нашем случае означает, что имеем

Таким образом, условие, что для любого найдется элемент базы, на котором колебание функции меньше для функции равносильно условию фундаментальности последовательности

b. Предел композиции функций

Теорема 5 (о пределе композиции функций). Пусть — множество; — отображение, имеющее предел по базе . Пусть X — множество, — база в X и такое отображение X в что для любого элемента базы найдется элемент базы образ которого содержится в

При этих условиях композиция о отображений определена, имеет предел по базе

Композиция определена, поскольку

Пусть Покажем, что По заданной окрестности точки А найдем элемент базы такой, что По условию найдется элемент базы такой, что Но тогда и мы, таким образом, проверили, что А является пределом функции по базе

Пример 18.

Если положить то В нашем случае Поскольку то для применения теоремы надо проверить, что, какой бы элемент базы мы ни взяли, найдется элемент базы образ которого при отображении содержится в указанном элементе базы у 0. Элементами базы являются проколотые окрестности точки

Элементами базы также являются проколотые окрестности точки Пусть (где причем

произвольная проколотая окрестность нуля в Если взять то эта проколотая окрестность нуля в X уже обладает тем свойством, что

Условия теоремы выполнены, и теперь можно утверждать, что

Пример 19. Функция как мы уже видели (см. пример 3), имеет предел

Функция определенная при также имеет предел (см. пример 1).

Однако функция при не имеет предела. Действительно, в любой проколотой окрестности точки имеются нули функции поэтому функция в любой такой окрестности принимает и значение 1, и значение 0 и по критерию Коши не может иметь предел при .

Не противоречит ли это доказанной теореме?

Проверьте, как мы сделали это в предыдущем примере, выполнены ли здесь условия теоремы.

Пример 20. Покажем, что

Пусть

где — целая часть числа х (т. е. наибольшее целое число, не превосходящее числа

Тогда для любого элемента базы очевидно, найдется элемент базы образ которого при отображении содержится в

Функция как нам уже известно, имеют своим пределом по базе число е.

По теореме о пределе композиции функций можно утверждать, что тогда функции

также имеют своим пределом по базе число .

Теперь остается заметить, что при

и так как при крайние члены стремятся к то по свойствам предела (теорема 3) получаем .

Используя теорему о пределе композиции функций, покажем теперь, что

Запишем

Написанные равенства с учетом произведенных замен обосновываются с конца на основе теоремы о пределе композиции функций. Действительно, только тогда, когда мы пришли к пределу существование которого уже доказано, теорема позволяет утверждать, что предыдущий предел тоже существует и равен этому. Тогда и стоящий перед ним предел существует, и конечным числом таких переходов придем к исходному пределу. Это довольно типичный пример процедуры использования теоремы о пределе сложной функции при вычислении пределов.

Итак, мы имеем

Отсюда следует, что

Действительно, пусть задано число

Поскольку найдется число такое, что при будет

Тогда при будем иметь Тем самым проверено, что

Пример 21.

После замены возвращаемся к пределу, рассмотренному в предыдущем примере.

Пример 22.

Мы знаем (см. § 1, пример 11), что если

Теперь, как и в примере 3, можно рассмотреть вспомогательное отображение осуществляемое функцией (целая часть Воспользовавшись неравенствами

и учитывая, что по теореме о пределе сложной функции крайние члены стремятся к нулю при заключаем, что

Пример 23.

Пусть Полагаем находим По свойствам показательной и логарифмической функций (учитывая неограниченность имеем Используя теорему о пределе сложной функции и результат примера 4, получаем

Если то положим Тогда и так как то снова

с. Предел монотонной функции.

Рассмотрим теперь один частный, но весьма полезный класс числовых функций — монотонные функции.

Определение 17. Функция определенная на числовом множестве называется

возрастающей на Е, если

неубывающей на Е, если

невозрастающей на Е, если

убывающей на Е, если

Функции перечисленных типов называются монотонными на множестве

Предположим, что числа (или символы являются предельными точками множества Е и монотонная функция на Имеет место следующая

Теорема 6 (критерий существования предела монотонной функции). Для того чтобы неубывающая на множестве Е функция имела предел при , необходимо и достаточно, чтобы она была ограничена сверху; а для того чтобы она имела предел прих , необходимо и достаточно, чтобы она была ограничена снизу.

Докажем теорему для предела

Если этот предел существует, то, как и всякая функция, имеющая предел, функция оказывается финально ограниченной при базе

Поскольку — неубывающая на Е функция, отсюда следует, что ограничена сверху. На самом деле можно утверждать даже, что для любого . Это будет видно из дальнейшего.

Перейдем к доказательству существования предела при условии ограниченности сверху.

Если ограничена сверху, то существует верхняя грань значений, которые функция принимает на множестве Е. Пусть покажем, что По на основании определения верхней грани множества, найдем точку , для которой . Тогда ввиду неубывания на Е получаем, что при будет . Но

множество очевидно, есть элемент базы (ибо s = sup Е). Таким образом, доказано, что

Для предела все рассуждения аналогичны. В этом случае имеем

d. Сравнение асимптотического поведения функций.

Этот пункт мы начнем поясняющими тему примерами.

Пусть — количество простых чисел, не превосходящих данного вещественного числа . Имея возможность при любом фиксированном х найти (хотя бы перебором) значение мы тем не менее не в состоянии сразу ответить, например, на вопрос о том, как ведет себя функция при или, что то же самое, каков асимптотический закон распределения простых чисел. От Евклида нам известно, что при но доказать, что растет примерно как удалось только в прошлом веке П. Л. Чебышеву.

Когда возникает вопрос об описании поведения функции вблизи некоторой точки (или бесконечности), в которой, как правило, сама функция не определена, говорят, что интересуются асимптотикой или асимптотическим поведением функции в окрестности этой точки.

Асимптотическое поведение функции обычно характеризуют с помощью другой, более простой или более изученной функции, которая в окрестности исследуемой точки с малой относительной погрешностью воспроизводит значения изучаемой функции.

Так, при ведет себя как функция - при ведет себя как постоянная функция, равная 1; говоря о поведении функции - при мы, ясно, скажем, что она в основном ведет себя как функция , а при — как

Дадим теперь точные определения некоторых элементарных понятий, относящихся к асимптотическому поведению функций. Этими понятиями мы будем систематически пользоваться уже на первом этапе изучения анализа.

Определение 18. Условимся говорить, что некоторое свойство функций или соотношение между функциями выполнено финально при данной базе В, если найдется элемент базы, на котором оно имеет место.

Именно в этом смысле мы до сих пор понимали финальное постоянство или финальную ограниченность функции при данной базе. В этом же смысле мы дальше будем говорить, например, о том, что финально выполнено соотношение между некоторыми функциями Эти функций

могут даже иметь разные исходные области определения, но если мы интересуемся их асимптотическим поведением при базе В, то нам важно только, чтобы все они были определены на некотором элементе базы В.

Определение 19. Говорят, что функция есть бесконечно малая по сравнению с функцией при базе В и пишут или при В, если финально при базе В выполнено соотношение , где а — функция, бесконечно малая при базе В.

Пример при так как

Пример при так как финально, когда уже ,

Из этих примеров надо сделать вывод, что указание базы, при которой совершенно необходимо.

Обозначение читается есть о малое от

Из определения следует, в частности, что получающаяся при запись означает просто, что есть бесконечно малая при базе В.

Определение 20. Если и функция сама есть бесконечно малая при базе В, то говорят, что есть бесконечно малая более высокого по сравнению с порядка при базе В.

Пример при есть бесконечно малая более высокого порядка по сравнению с бесконечно малой

Определение 21. Функцию, стремящуюся к бесконечности при данной базе, называют бесконечно большой функцией или просто бесконечно большой при данной базе.

Определение 22. Если — бесконечно большие при базе В и то говорят, что есть бесконечно большая более высокого порядка по сравнению с

Пример 27. при при при поэтому — есть бесконечно большая более высокого порядка по сравнению с - при

Вместе с тем при функция есть бесконечно большая более высокого порядка, чем х.

Не следует думать, что, выбрав степени для описания асимптотического поведения функций, мы сможем каждую бесконечно малую или бесконечно большую характеризовать некоторым числом — ее степенью.

Пример 28. Покажем, что при и любом

Если то утверждение очевидно. Если же то, полагая , имеем поэтому

Мы воспользовались, по индукции, теоремой о пределе произведения и результатом примера 22.

Таким образом, при любом получаем при если

Пример 29. Развивая предыдущий пример, покажем, что при и любом а

Действительно, возьмем число такое, что Тогда при получим

Опираясь на свойства предела и результат предыдущего примера, получаем, что

Пример 30. Покажем, что при и любом

Полагая в этом случае по теореме о пределе сложной функции, используя результат предыдущего примера, находим

Пример 31. Покажем, что при

т. е. при любом положительном показателе степени а имеем при

Если то положим Тогда по свойствам показательной функции и логарифма, опираясь на теорему о пределе композиции функций и результат примера 29, находим

Если то и после замены получаем

Пример 32. Покажем еще, что при любом

Нам нужно показать, что при Полагая применяя теорему о пределе композиции функций и результат предыдущего примера, находим

Определение 23. Условимся, что запись или при базе В (читается «f есть О большое от при базе В») будет означать, что финально при базе В выполнено соотношение где — финально ограниченная при базе В функция.

В частности, запись означает, что функция финально ограничена при базе В.

Пример при

Определение 24. Говорят, что функции одного порядка при базе В, если одновременно

Пример 34. Функции одного порядка при но не являются функциями одного порядка при

Условие, что функции одного порядка при базе В, очевидно, равносильно тому, что найдутся числа и элемент В базы В такие, что на В имеют место соотношения

или, что то же самое,

Определение 25. Если между функциями финально при базе В выполнено соотношение где то говорят, что при базе В функция асимптотически ведет себя как функция или, короче, что эквивалентна при базе В.

Будем в этом случая писать при базе В.

Употребление термина «эквивалентна» оправдано тем, что

Действительно, соотношение очевидно, в этом случае Далее, если то Здесь надо только объяснить, почему можно считать, что Если соотношение имеет место на элементе , а соотношение на элементе Е 6, то мы можем взять элемент на котором будет выполнено и то и другое. Всюду вне 22, если угодно, можно вообще считать, что Таким образом, действительно Наконец, если на на , то на элементе базы В таком, что оба эти соотношения выполнены одновременно, поэтому на В. Но и тем самым проверено, что

Полезно заметить, что поскольку соотношение равносильно тому, что где то соотношение равносильно тому, что при базе В.

Мы видим, что относительная погрешность приближения функции с помощью функции эквивалентной при базе В, есть величина бесконечно малая при базе В.

Рассмотрим некоторые примеры.

Пример при

Абсолютная величина разности этих функций

стремится, к бесконечности, однако относительная погрешность замены функции на эквивалентную величину стремится к нулю при

Пример 36. В начале этого пункта мы говорили о знаменитом асимптотическом законе распределения простых чисел. Теперь мы в состоянии записать его точную формулировку:

Пример 37. Поскольку то при , что можно написать также в виде равенства при

Пример 38. Покажем, что при

Мы воспользовались в первом равенстве тем, что во втором тем, что

Итак,

Пример 39. Покажем, что при .

Мы сделали замену и воспользовались тем, что при причем при Таким образом, на основании теоремы о пределе композиции и результата предыдущего примера утверждение доказано.

Итак,

Пример 40. Покажем, что при

В этой выкладке мы, предполагая сделали замену и воспользовались результатами двух предыдущих примеров.

Если же то утверждение очевидно.

Таким образом, при

При вычислении пределов иногда бывает полезно следующее простое

Утверждение 3. Если то если один из этих пределов существует.

Действительно, коль скоро то

Пример 41.

Мы воспользовались тем, что при а при ,

Мы доказали, что в одночленах при вычислении пределов можно заменять функции на им эквивалентные при данной базе. Не следует распространять это правило на суммы и разности функций.

Пример при но

В самом деле,

Отметим еще следующие широко используемые в анализе правила обращения с символами

Утверждение 4. При данной базе:

Обратите внимание на особенности действий с символами вытекающие из смысла этих символов. Например, или (хотя, вообще говоря, или но Здесь знак равенства всюду имеет значение слова «есть». Сами символы обозначают не столько функцию, сколько указание на характер ее асимптотического поведения, которым, кстати, обладают сразу многие функции, например, и

а) После сделанного уточнения утверждение а) перестает выглядеть неожиданным. Первый символ в нем означает некоторую функцию вида где Второй символ который можно (или нужно) было бы снабдить пометкой, отличающей его от первого, означает некоторую функцию вида где Тогда

Следует из того, что всякая функция, имеющая предел, является финально ограниченной.

Следует из

Следует из того, что сумма финально ограниченных функций финально ограничена.

Аналогично проверяется и вторая часть утверждения е).

Пользуясь этими правилами и эквивалентностями, полученными в примере 40, теперь можно следующим прямым методом искать предел из примера 42:

Несколько позже мы докажем следующие важные соотношения, которые уже сейчас стоит запомнить как таблицу умножения:

Эти соотношения, с одной стороны, уже могут служить вычислительными формулами, а с другой стороны, как будет видно, содержат в себе следующие асимптотические формулы, обобщающие формулы, полученные в примерах 37-40: