5. Первообразные вида ...
Пусть, как и в пункте 4, 
— рациональная функция. Рассмотрим некоторые специальные первообразные вида
где 
— функция от х.
Прежде всего, ясно, что если удастся сделать замену 
так, что обе функции 
окажутся рациональными функциями от 
то 
— тоже рациональная функция и
т. e. дело сведется к интегрированию рациональной функции.
Мы рассмотрим следующие специальные случаи задания функции 
а. Если 
где 
то, полагая 
получаем
и подынтегральное выражение рационализируется.
Пример 19.
b. Рассмотрим теперь случай, когда 
с, т. е. речь идет об интегралах вида
Выделяя полный квадрат в трехчлене 
и делая соответствующую линейную замену переменной, сводим общий случай к одному из следующих трех простейших:
Для рационализации этих интегралов теперь достаточно положить соответственно
Эти подстановки были предложены еще Эйлером (см. задачу 3 в конце параграфа).
Проверим, например, что после первой подстановки мы сведем первый интеграл к интегралу от рациональной функции.
В самом деле, если 
то 
, откуда
и, в свою очередь,
Таким образом, 
выразились рационально через и, а следовательно, интеграл привелся к интегралу от рациональной функции.
Интегралы (18) подстановками 
(или 
соответственно приводятся также к тригонометрической форме
и
Пример 20.
Полагая 
имеем 
откуда 
Поэтому
Теперь остается проделать обратный путь замен: 
с. Эллиптические интегралы. Очень важными являются также первообразные вида
где 
— многочлен степени 
Такой интеграл, как было показано Абелем и Лиувиллем, вообще говоря, уже не выражается через элементарные функции.
При 
интеграл (19) называется эллиптическим, а при 
— гиперэллиптическим.
Можно показать, что общий эллиптический интеграл элементарными подстановками с точностью до слагаемых, выражающихся через элементарные функции, приводится к следующим трем стандартным эллиптическим интегралам:
где 
— параметры, причем во всех трех случаях параметр 
лежит в интервале 
Подстановкой 
эти интегралы можно свести к следующим каноническим интегралам или их комбинациям:
Интегралы (23), (24), (25) называются соответственно эллиптическими интегралами первого, второго и третьего рода (в форме Лежандра). Через 
обозначают эллиптические интегралы (23) и (24) первого и второго рода соответственно, выделяемые условиями 
Функции 
часто используются, и потому составлены достаточно подробные таблицы их значений для 
Эллиптические интегралы, как показал Абель, естественно рассматривать в комплексной области, в неразрывной связи с так называемыми эллиптическими функциями, которые соотносятся с эллиптическими интегралами так же, как, например, функция 
с интегралом 
.
Задачи и упражнения
(см. скан)
