ГЛАВА V. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

§ 1. Дифференцируемая функция

1. Задача и наводящие соображения. Предположим, что, следуя Ньютону, мы хотим решить кеплерову задачу двух тел, т. е. хотим объяснить закон движения одного небесного тела (планета) относительно другого тела М (звезда). Выберем в плоскости движения декартову систему координат с началом в М (рис. 13). Тогда положение в момент времени можно охарактеризовать численно координатами точки в этой системе координат. Мы хотим найти функции

Рис. 13

Движением относительно М управляют два знаменитых закона Ньютона: общий закон движения

связывающий вектор силы с вектором вызванного ею ускорения через коэффициент пропорциональности — инертную массу тела, и закон всемирного тяготения, позволяющий найти гравитационное воздействие

тел и М друг на друга по формуле

где — вектор с началом в теле приложения силы и концом в другом теле, — длина вектора или расстояние между .

Зная массы , по формуле (2) без труда выражаем правую часть уравнения (1) через координаты тела в момент чем исчерпываем всю специфику данного движения.

Чтобы получить теперь соотношения на заключенные в уравнении (1), необходимо научиться выражать левую часть уравнения (1) через функции

Ускорение есть характеристика изменения скорости точнее, просто скорость изменения скорости; поэтому для решения задачи прежде всего необходимо научиться вычислять скорость которую имеет в момент тело, движение которого задается радиус-вектором

Итак, мы хотим определить и научиться вычислять ту мгновенную скорость тела, которую подразумевает закон движения (1).

Измерить — значит сравнить с эталоном. Что же в нашем случае может служить эталоном для определения мгновенной скорости движения?

Наиболее простым видом движения является такое, которое совершает по инерции свободное тело. Это движение, при котором за равные промежутки времени происходят равные (как векторы) перемещения тела в пространстве. Это так называемое равномерное (прямолинейное) движение. Бели точка движется равномерно, — ее радиус-векторы относительно инерциальной системы координат в моменты соответственно, то в любой момент времени будем иметь

где Таким образом, перемещение оказывается в простейшем случае линейной функцией времени, причем роль множителя пропорциональности между перемещением и временем играет в данном случае вектор перемещения за единицу времени. Этот вектор и называется скоростью равномерного движения. То, что движение прямолинейно, видно из параметрического уравнения его траектории: являющегося (см. курс аналитической геометрии) уравнением прямой.

Мы знаем, таким образом, скорость равномерного прямолинейного движения, задаваемого формулой (3). По закону инерции, если на тело не действуют внешние силы, оно движется равномерно и прямолинейно. Значит, если в момент экранировать действие тела М на тело то последнее Продолжит свое движение уже равномерно с некоторой определенной скоростью. Таким образом, естественно считать, что именно она является (мгновенной) скоростью нашего тела в момент

Однако такое определение мгновенной скорости оставалось бы чистой абстракцией, не дающей никаких рекомендаций для конкретного вычисления этой величины, если бы не следующее обстоятельство первостепенной важности, которое мы сейчас обсудим.

Оставаясь в рамках того (как сказали бы логики, «порочного») круга, в который мы вошли, написав уравнение движения (1), а затем принявшись выяснять, что такое мгновенная скорость и ускорение, мы все же заметим, что при самом общем представлении об этих понятиях из уравнения (1) можно сделать следующие эвристические выводы. Если силы отсутствуют, т. е. то ускорение тоже равно нулю. Но если скорость изменения скорости равна нулю, то, по-видимому, сама скорость вообще не меняется со временем. И мы приходим к закону инерции, по которому свободное тело действительно движется в пространстве с постоянной во времени скоростью.

Из того же уравнения (1) видно, что ограниченные по величине силы способны создать только ограниченные по величине ускорения. Но если на отрезке времени абсолютная величина скорости изменения некоторой величины не превышала некоторой постоянной с, то, по нашим представлениям, изменение величины Р за время не превышает с т. е. в этой ситуации за малый промежуток времени величина мало меняется (во всяком случае, функция оказывается непрерывной). Значит, реальная механическая система за малый промежуток времени мало меняет свои параметры.

В частности, скорость тела во все моменты времени близкие к некоторому моменту должна быть близка к значению которое мы желаем определить. Но в таком случае само движение в малой окрестности момента должно мало отличаться от равномерного движения со скоростью причем тем меньше отличаться, чем меньше мы уходим от

Если бы мы сфотографировали траекторию тела через телескоп, то в зависимости от его силы мы получили бы примерно следующее:

Рис. 14

Представленный на фотографии с участок траектории соответствует столь малому интервалу времени, что на нем уже трудно отличить истинную

траекторию от прямолинейной, так как она и в самом деле на этом участке похожа на прямолинейную, а движение — на равномерное прямолинейное. Из этого наблюдения, кстати, можно заключить, что, решив задачу об определении мгновенной скорости (а скорость — векторная величина), мы одновременно решим и чисто геометрический вопрос об определении и нахождении касательной к кривой (кривой в данном случае служит траектория движения).

Итак, мы заметили, что в нашей задаче должно быть при близких к при или, что то же самое, при Тогда должно быть также

при близких к точнее, величина смещения эквивалентна при или

где есть поправочный вектор, величина которого при стремится к нулю быстрее, чем величина вектора Тут следует, естественно, оговорить тот случай, когда Чтобы не исключать этот случай из общего рассмотрения, полезно заметить, что Таким образом, если , то величина того же порядка, что и и поэтому Значит, вместо (4) можно записать соотношение

которое не исключает также случая

Таким образом, от самых общих и, быть может, расплывчатых представлений о скорости мы пришли к соотношению (5), которому скорость должна удовлетворять. Но из (5) величина находится однозначно:

поэтому как само фундаментальное соотношение (5), так и равносильное ему соотношение (6) можно теперь принять за определения величины — мгновенной скорости тела в момент

Мы не станем сейчас отвлекаться на подробное обсуждение вопроса о пределе векторнозначной функции и ограничимся сведением его к уже рассмотренному во всех подробностях случало предела вещественнозначной функции. Поскольку вектор имеет координаты то и, значит, если считать, что векторы

близки, если их координаты близки, то предел в (6) следует понимать так:

в (5) надо понимать как вектор, зависящий от и такой, что вектор стремится (покоординатно) к нулю при

Наконец, заметим, что если то уравнение

задает прямую, которая в силу указанных выше обстоятельств должна быть признана касательной к траектории в точке

Итак, эталоном для определения скорости движения служит скорость равномерного прямолинейного движения, задаваемого линейным соотношением (7). Эталонное движение (7) подгоняется к исследуемому так, как этого требует соотношение (5). То значение при котором (5) выполнено, может быть найдено предельным переходом (6) и называется скоростью движения в момент Рассматриваемые в классической механике движения, описываемые законом (1), должны допускать сравнение с таким эталоном, т. е. должны допускать линейную аппроксимацию, указанную в (5).

Если — радиус-вектор движущейся точки в момент — вектор скорости изменения в момент , а — вектор скорости изменения или ускорение в момент , то уравнение (1) можно записать в виде

откуда для нашего движения в поле тяжести получаем в координатном

Это точная математическая запись нашей исходной задачи. Поскольку мы знаем, как по искать и далее то уже сейчас мы в состоянии ответить на вопрос, может ли какая-то пара функций задавать движение тела вокруг М. Для этого надо найти и проверить, выполнены ли соотношения (8). Система (8) является примером системы так называемых дифференциальных уравнений. Пока что мы можем только проверять, является ли некоторый набор функций решением системы. Как искать решение или, лучше сказать, как исследовать свойства решений дифференциальных уравнений, изучается в специальном и, как уже сейчас можно понять, весьма ответственном отделе анализа — теории дифференциальных уравнений.

Операция отыскания скорости изменения векторной величины, как было показано, сводится к отысканию скорости изменения нескольких числовых функций — координат вектора. Таким образом эту операцию следует прежде всего научиться свободно выполнять в простейшем случае вещественнозначных функций вещественного аргумента, чем мы теперь и займемся.