2. Открытые и замкнутые множества в R^m

Определение 1. При множество

называется шаром с центром а радиуса 8 или также -окрестностью точки

Определение 2. Множество называется открытым в если для любой точки найдется шар такой, что

Пример — открытое множество в

Пример 2. Пустое множество вообще не содержит точек и потому может считаться удовлетворяющим определению 2, т. е. — открытое множество в .

Пример 3. Шар — открытое множество в

Действительно, если то при будет поскольку

Пример 4. Множество т. е. совокупность точек, удаленных от фиксированной точки на расстояние, большее чем является открытым, что, как и в примере 3, легко проверить, используя неравенство треугольника для метрики.

Определение 3. Множество называется замкнутым в если его дополнение является множеством, открытым в

Пример 5. Множество т. е. совокупность точек, удаленных от фиксированной точки не больше чем на является замкнутым, что следует из определения 3 и примера 4. Множество называют замкнутым шаром с центром а радиуса

Утверждение 1. а) Объединение множеств любой системы множеств, открытых в является множеством, открытым в

Пересечение конечного числа множеств, открытых в является множеством, открытым в

а) Пересечение множеств любой системы множеств замкнутых в является множеством, замкнутым в

Объединение конечного числа множеств F замкнутых в , является множеством, замкнутым в

а) Если то найдется такое , что и, следовательно, найдется такая -окрестность точки х, что Значит,

Пусть Тогда Пусть такие положительные числа, что Полагая очевидно, получим, что

а) Покажем, что множество дополнительное к является открытым подмножеством

Действительно,

где открыты в Теперь а) следует из а).

Аналогично, из получаем

Пример 6. Множество называется сферой с центром а радиуса Дополнение к в силу примеров 3 и 4 является объединением открытых множеств. Значит, в силу доказанного утверждения оно открыто, а сфера есть замкнутое подмножество

Определение 4. Открытое в множество, содержащее данную точку, называется окрестностью этой точки в

В частности, как следует из примера 3, -окрестность точки является ее окрестностью.

Определение 5. Точка по отношению к множеству называется:

внутренней точкой Е, если она содержится в Е вместе с некоторой своей окрестностью;

внешней точкой Е, если она является внутренней точкой дополнения к Е в

граничной точкой Е, если она не является ни внешней, ни внутренней точкой множества Е.

Из этого определения следует, что характеристическое свойство граничной точки множества состоит в том, что в любой ее окрестности имеются как точки этого множества, так и точки, ему не принадлежащие.

Пример 7. Сфера является множеством граничных точек как открытого шара , так и замкнутого шара .

Пример 8. Точка является граничной точкой множества , которое не имеет внешних точек.

Пример 9. Все точки сферы являются ее граничными точками; внутренних точек множество как подмножество не имеет.

Определение 6. Точка а называется предельной точкой множества если для любой окрестности точки а пересечение есть бесконечное множество.

Определение 7. Объединение множества Е и всех его предельных точек из называется замыканием множества Е в

Замыкание множества Е обычно обозначают символом Е.

Пример 10. Множество есть множество предельных точек для открытого шара Если, поэтому Если, в отличие от Если, и назвали замкнутым шаром.

Пример

Вместо того чтобы обосновывать последнее равенство, докажем следующее полезное

Утверждение замкнуто в

Иными словами, — замкнутое в множество тогда и только тогда, когда оно содержит все свои предельные точки.

Пусть замкнуто в Тогда открытое множество является окрестностью точки вообще не содержащей точек множества Таким образом, показано, что если то х — не предельная точка

Пусть Проверим, что множество открыто в Если то и потому х не является, предельной точкой множества Значит, найдется такая окрестность точки х, в которой имеется только конечное число точек множества Поскольку то можно построить, например, шаровые окрестности точки х так, что Тогда будет открытой окрестностью точки х, которая вообще не содержит точек и, следовательно, множество открыто, т. е. замкнуто в