3. Переход к случаю зависимости

Простым обобщением утверждения 1 на случай зависимости является следующее утверждение.

Утверждение 2. Если функция определенная в окрестности Если точки такова, что

то существуют -мерный промежуток где

являющийся лежащей в окрестностью точки и такая функция II), что для любой точки

причем частные производные функции в точках могут быть вычислены по формуле

Доказательство существования промежутка функции и ее непрерывности в дословно повторяет соответствующие части доказательства утверждения 1, с единственным изменением, которое сводится к тому, что теперь под символом надо понимать набор под символом а — набор

Если теперь в функциях фиксировать все переменные, кроме и у, то мы окажемся в условиях утверждения 1, где на сей раз роль выполняет переменная Отсюда следует справедливость формулы (10). Из этой формулы видно, что

Рассуждая, как и при доказательстве утверждения 1, по индукции устанавливаем, что коль скоро

Пример 2. Предположим, что функция определена в области Если и принадлежит классу Пусть Если не является критической точкой функции то хотя бы одна из частных производных функции в точке отлична от нуля. Пусть, например, .

Тогда, в силу утверждения 2, в некоторой окрестности точки подмножество задаваемое уравнением может быть задано как график некоторой функции определенной в окрестности точки непрерывно дифференцируемой в этой окрестности и такой, что

Таким образом, в окрестности некритической точки функции уравнение

задает -мерную поверхность.

В частности, в случае уравнение

в окрестности некритической точки удовлетворяющей ему, задает двумерную поверхность, которая при выполнении условия локально может быть записана в виде

Как мы знаем, уравнение плоскости, касательной к графику этой функции в точке имеет вид

Но по формуле (10)

поэтому уравнение касательной плоскости можно переписать в виде

симметричном относительно переменных

Аналогично и в общем случае получаем уравнение

гиперплоскости в касательной в точке к поверхности, задаваемой уравнением (разумеется, при условии, что и что — некритическая точка

Из полученных уравнений видно, что при наличии евклидовой структуры в можно утверждать, что вектор

ортогонален поверхности -уровня функции в соответствующей точке

Например, для функции

определенной в -уровнем являются: пустое множество при точка при эллипсоид

при Если — точка на этом эллипсоиде, то по доказанному вектор

ортогонален этому эллипсоиду в точке , а касательная к нему в этой точке плоскость имеет уравнение

которое с учетом того, что точка лежит на эллипсоиде, можно переписать в виде